時間：2022-03-07 18:03:05
序論：在您撰寫數學考試分析總結時，參考他人的優(yōu)秀作品可以開闊視野，小編為您整理的7篇范文，希望這些建議能夠激發(fā)您的創(chuàng)作熱情，引導您走向新的創(chuàng)作高度。
年級/班
人數
總分
均分
片名次
及格人數
及格率
片名次
優(yōu)生人數
優(yōu)生率
片名次
備注
1.1
28
2635
94.1
2
27
96.4%
2
26
92.9%
1
2.1
57
4477
78.5
6
48
84.2%
7
22
38.6%
6
3.1
41
3477
84.8
8
40
97.6%
4
20
48.8%
9
3.2
40
3303
82.6
11
37
92.5%
9
19
47.5%
10
4.1
60
4796.5
79.9
11
53
88.3%
11
23
38.3%
10
5.1
48
3340
69.6
9
34
70.8%
9
9
18.8%
7
5.2
49
2981
60.8
12
28
57.1%
13
3
6.1%
14
6.1
44
3966
90.1
5
44
100%
1
26
59.1%
7
6.2
40
3396
84.9
8
39
97.5%
7
16
40%
11
二、從表格中可以看到此次測檢的成績不是很理想，各方面的情況都需要加強。從試卷情況分析看，還存在以下問題：
數列
第十八講
數列的綜合應用
一、選擇題
1．(2018浙江)已知，，，成等比數列，且．若，則
A．，
B．，
C．，
D．，
2．(2015湖北)設，．若p：成等比數列；q：，則
A．p是q的充分條件，但不是q的必要條件
B．p是q的必要條件，但不是q的充分條件
C．p是q的充分必要條件
D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件
3．（2014新課標2）等差數列的公差為2，若，，成等比數列，則的前項和=
A．
B．
C．
D．
4．（2014浙江）設函數，，
，記
，則
A．
B．
C．
D．
二、填空題
5．(2018江蘇)已知集合，．將的所有元素從小到大依次排列構成一個數列．記為數列的前項和，則使得成立的的最小值為
．
6．（2015浙江）已知是等差數列，公差不為零．若，，成等比數列，且，則
，
．
7．（2013重慶）已知是等差數列，，公差，為其前項和，若成等比數列，則．
8．（2011江蘇）設，其中成公比為的等比數列，成公差為1的等差數列，則的最小值是________．
三、解答題
9．（2018江蘇）設是首項為，公差為的等差數列，是首項為，公比為的等比數列．
(1)設，若對均成立，求的取值范圍；
(2)若，證明：存在，使得對均成立，并求的取值范圍（用表示）．
10*．（2017浙江）已知數列滿足：，．
證明：當時
（Ⅰ）；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）．
*根據親所在地區(qū)選用，新課標地區(qū)（文科）不考．
11．（2017江蘇）對于給定的正整數，若數列滿足
對任意正整數總成立，則稱數列是“數列”．
（1）證明：等差數列是“數列”；
（2）若數列既是“數列”，又是“數列”，證明：是等差數列．
12．（2016年四川）已知數列的首項為1，為數列的前項和，，其中，
(Ⅰ)若成等差數列，求數列的通項公式；
(Ⅱ)設雙曲線的離心率為，且，求．
13．（2016年浙江）設數列{}的前項和為.已知=4，=2+1，.
（I）求通項公式；
（II）求數列{}的前項和.
14．(2015重慶)已知等差數列滿足，前3項和．
（Ⅰ）求的通項公式；
（Ⅱ）設等比數列滿足，，求前項和．
15．（2015天津）已知是各項均為正數的等比數列，是等差數列，且，，．
（Ⅰ）求和的通項公式；
（Ⅱ）設，，求數列的前項和．
16．(2015四川)設數列（=1,2,3…）的前項和滿足，且，+1，成等差數列．
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）設數列的前項和為，求．
17．（2015湖北）設等差數列的公差為，前項和為，等比數列的公比為，已知，，，．
（Ⅰ）求數列，的通項公式；
（Ⅱ）當時，記=，求數列的前項和．
18．(2014山東）已知等差數列的公差為2，前項和為，且，，成等比數列．
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）令=求數列的前項和．
19．（2014浙江）已知數列和滿足．若為等比數列，且
（Ⅰ）求與；
（Ⅱ）設．記數列的前項和為．
（?。┣?；
（ⅱ）求正整數，使得對任意，均有．
20．（2014湖南）已知數列{}滿足
（Ⅰ）若{}是遞增數列，且成等差數列，求的值；
（Ⅱ）若，且{}是遞增數列，{}是遞減數列，求數列{}的通項公式．
21．（2014四川）設等差數列的公差為，點在函數的圖象上（）．
（Ⅰ）若，點在函數的圖象上，求數列的前項和；
（Ⅱ）若，函數的圖象在點處的切線在軸上的截距為，求數列
的前項和．
22．(2014江蘇)設數列的前項和為．若對任意正整數，總存在正整數，使得，則稱是“H數列”．
（Ⅰ）若數列的前n項和(N)，證明:
是“H數列”；
（Ⅱ）設
是等差數列，其首項，公差．若
是“H數列”，求的值；
（Ⅲ）證明：對任意的等差數列，總存在兩個“H數列”和，使得(N)成立．
23．（2013安徽）設數列滿足，，且對任意，函數
，滿足
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）若，求數列的前項和．
24．（2013廣東）設各項均為正數的數列的前項和為，滿足
且構成等比數列．
（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）求數列的通項公式；
（Ⅲ）證明：對一切正整數，有．
25．（2013湖北）已知是等比數列的前項和，，，成等差數列，
且.
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）是否存在正整數，使得？若存在，求出符合條件的所有的集合；
若不存在，說明理由．
26．（2013江蘇）設是首項為，公差為的等差數列，是其前項和.
記，，其中為實數.
（Ⅰ）
若，且，，成等比數列，證明：；
（Ⅱ）
若是等差數列，證明：．
27．
(2012山東)已知等差數列的前5項和為105，且．
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）對任意，將數列中不大于的項的個數記為.求數列的前m項和．
28．（2012湖南）某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產品的生產．該企業(yè)第一年年初有資金2000萬元，將其投入生產，到當年年底資金增長了50％．預計以后每年資金年增長率與第一年的相同．公司要求企業(yè)從第一年開始，每年年底上繳資金萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產．設第年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為萬元．
（Ⅰ）用表示，并寫出與的關系式；
（Ⅱ）若公司希望經過（≥3）年使企業(yè)的剩余資金為4000萬元，試確定企業(yè)每年上繳資金的值（用表示）．
29．（2012浙江）已知數列的前項和為，且=，，數列滿足，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求數列的前項和．
30．（2012山東）在等差數列中，，
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）對任意的，將數列中落入區(qū)間內的項的個數為，求數列的前項和．
31．（2012江蘇）已知各項均為正數的兩個數列和滿足：．
（Ⅰ）設，求證：數列是等差數列；
（Ⅱ）設，且是等比數列，求和的值．
32．（2011天津）已知數列滿足，
．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）設，證明是等比數列；
（Ⅲ）設為的前項和，證明
33．（2011天津）已知數列與滿足：，
，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）設，證明：是等比數列；
（Ⅲ）設證明：．
34．（2010新課標）設數列滿足
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）令，求數列的前項和．
35．（2010湖南）給出下面的數表序列：
其中表（=1,2,3
）有行，第1行的個數是1，3，5，，21，從第2行起，每行中的每個數都等于它肩上的兩數之和．
（Ⅰ）寫出表4，驗證表4各行中數的平均數按從上到下的順序構成等比數列，并將結論推廣到表（≥3）（不要求證明）；
（Ⅱ）每個數列中最后一行都只有一個數，它們構成數列1，4，12，，記此數列為，求和：
．
專題六
數列
第十八講
數列的綜合應用
答案部分
1．B【解析】解法一
因為()，所以
，所以，又，所以等比數列的公比．
若，則，
而，所以，
與矛盾，
所以，所以，，
所以，，故選B．
解法二
因為，，
所以，則，
又，所以等比數列的公比．
若，則，
而，所以
與矛盾，
所以，所以，，
所以，，故選B．
2．A【解析】對命題p：成等比數列，則公比且；
對命題，
①當時，成立；
②當時，根據柯西不等式，
等式成立，
則，所以成等比數列，
所以是的充分條件，但不是的必要條件．
3．A【解析】，，成等比數列，，即，解得，所以．
4．B【解析】在上單調遞增，可得，
，…，，
=
在上單調遞增，在單調遞減
，…，，，
，…，
==
=
在，上單調遞增，在，上單調遞減，可得
因此．
5．27【解析】所有的正奇數和()按照從小到大的順序排列構成，在數列
中，前面有16個正奇數，即，．當時，，不符合題意；當時，，不符合題意；當時，，不符合題意；當時，，不符合題意；……；當時，=
441
+62=
503
+62=546>=540，符合題意．故使得成立的的最小值為27．
6．【解析】由題可得，，故有，又因為，即，所以．
7．64【解析】由且成等比數列，得，解得，故．
8．【解析】設，則，由于，所以，故的最小值是．
因此，所以．
9．【解析】(1)由條件知：,．
因為對=1，2，3，4均成立，
即對=1，2，3，4均成立，
即11，13，35，79，得．
因此，的取值范圍為．
(2)由條件知：,．
若存在，使得(=2，3，···，+1)成立，
即(=2，3，···，+1)，
即當時，滿足．
因為，則，
從而，，對均成立．
因此，取=0時，對均成立．
下面討論數列的最大值和數列的最小值（）．
①當時，，
當時，有，從而．
因此，當時，數列單調遞增，
故數列的最大值為．
②設，當時，，
所以單調遞減，從而．
當時，，
因此，當時，數列單調遞減，
故數列的最小值為．
因此，的取值范圍為．
10．【解析】（Ⅰ）用數學歸納法證明：
當時，
假設時，，
那么時，若，則，矛盾，故．
因此
所以
因此
（Ⅱ）由得
記函數
函數在上單調遞增，所以=0，
因此
故
（Ⅲ）因為
所以得
由得
所以
故
綜上，
．
11．【解析】證明:（1）因為是等差數列，設其公差為，則，
從而，當時，
，
所以，
因此等差數列是“數列”.
（2）數列既是“數列”，又是“數列”，因此，
當時，，①
當時，.②
由①知，，③
，④
將③④代入②，得，其中，
所以是等差數列，設其公差為.
在①中，取，則，所以，
在①中，取，則，所以，
所以數列是等差數列.
12．【解析】（Ⅰ）由已知，
兩式相減得到.
又由得到，故對所有都成立.
所以，數列是首項為1，公比為q的等比數列.
從而.
由成等差數列，可得，所以，故.
所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，.
所以雙曲線的離心率.
由解得.所以，
13．【解析】（1）由題意得：，則，
又當時，由，
得，
所以，數列的通項公式為.
（2）設，，.
當時，由于，故.
設數列的前項和為，則.
當時，，
所以，.
14．【解析】（Ⅰ）設的公差為，則由已知條件得
化簡得
解得，．
故通項公式，即．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．
設的公比為，則，從而．
故的前項和
．
15．【解析】（Ⅰ）設數列的公比為q，數列的公差為d，由題意，由已知，有
消去d，整數得，又因為＞0，解得，所以的通項公式為，數列的通項公式為.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）有
,設的前n項和為，則
，
，
兩式相減得，
所以．
16．【解析】(Ⅰ)
由已知，有
=(n≥2)，即(n≥2)，
從而，．
又因為，+1，成等差數列，即＋＝2(＋1)，
所以＋4＝2(2＋1)，解得＝2．
所以，數列是首項為2，公比為2的等比數列，故．
(Ⅱ)由(Ⅰ)得，
所以＝．
17．【解析】（Ⅰ）由題意有，
即，
解得
或
故或
（Ⅱ）由，知，，故，于是
，
①
．
②
①－②可得
，
故．
18．【解析】（Ⅰ）
解得
（Ⅱ），
當為偶數時
．
19．【解析】（Ⅰ）由題意，，，
知，又由，得公比（舍去），
所以數列的通項公式為，
所以，
故數列的通項公式為，；
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知，，
所以；
（ii）因為；
當時，，
而，
得，
所以當時，，
綜上對任意恒有，故．
20．【解析】（I）因為是遞增數列，所以。而，
因此又成等差數列，所以，因而，
解得
當時，，這與是遞增數列矛盾。故.
（Ⅱ）由于是遞增數列，因而，于是
①
但，所以
.
②
又①，②知，，因此
③
因為是遞減數列，同理可得，故
④
由③，④即知，。
于是
.
故數列的通項公式為．
21．【解析】（Ⅰ）點在函數的圖象上，所以，又等差數列的公差為，所以
因為點在函數的圖象上，所以，所以
又，所以
（Ⅱ）由，函數的圖象在點處的切線方程為
所以切線在軸上的截距為，從而，故
從而，，
所以
故．
22．【解析】（Ⅰ）當時，
當時，
時，，當時，，是“H數列”．
（Ⅱ）
對，使，即
取得，
，，又，，．
（Ⅲ）設的公差為d
令，對，
，對，
則，且為等差數列
的前n項和，令，則
當時；
當時；
當時，由于n與奇偶性不同，即非負偶數，
因此對，都可找到，使成立，即為“H數列”．
的前n項和，令，則
對，是非負偶數，
即對，都可找到，使得成立，即為“H數列”
因此命題得證．
23．【解析】（Ⅰ）由，
所以，
是等差數列.
而，，，，
（Ⅱ）
24．【解析】（Ⅰ）當時，，
（Ⅱ）當時，，
,
當時，是公差的等差數列.
構成等比數列，，，
解得．
由（Ⅰ）可知，
是首項,公差的等差數列.
數列的通項公式為.
（Ⅲ）
25．【解析】（Ⅰ）設數列的公比為，則，.
由題意得
即
解得
故數列的通項公式為．
（Ⅱ）由（Ⅰ）有
.
若存在，使得，則，即
當為偶數時，，
上式不成立；
當為奇數時，，即，則.
綜上，存在符合條件的正整數，且所有這樣的n的集合為．
26．【證明】（Ⅰ）若，則，，又由題，
，，
是等差數列，首項為，公差為，，又成等比數列，
，，，，，，
，（）．
（Ⅱ）由題，，，若是等差數列，則可設，是常數，關于恒成立．整理得：
關于恒成立．，
．
27．【解析】（Ⅰ）由已知得：
解得,
所以通項公式為.
（Ⅱ）由，得，即.
，
是公比為49的等比數列，
．
28．【解析】（Ⅰ）由題意得，
，
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
．
整理得
．
由題意，
解得．
故該企業(yè)每年上繳資金的值為繳時，經過年企業(yè)的剩余資金為4000元．
29．【解析】（Ⅰ）由=，得
當=1時，；
當2時，，.
由，得，.
（Ⅱ）由（1）知，
所以，
，
，．
30．【解析】：（Ⅰ）由a3+a4+a5=84，a5=73可得而a9=73，則
，，
于是，即.
（Ⅱ）對任意m∈，，則，
即，而，由題意可知，
于是
，
即.
31．【解析】（Ⅰ）由題意知，
所以，從而
所以數列是以1為公差的等差數列．
（Ⅱ）．所以，
從而
(*)
設等比數列的公比為，由知下證．
若，則．故當，，與（*）矛盾；
若，則．故當，，與（*）矛盾；
綜上：故，所以．
又，所以是以公比為的等比數列，若，
則，于是，又由，得，
所以中至少有兩項相同，矛盾．所以，從而，
所以．
32．【解析】（Ⅰ）由，可得
又，
當
當
（Ⅱ）證明：對任意
①
②
②-①，得
所以是等比數列。
（Ⅲ）證明：，由（Ⅱ）知，當時，
故對任意
由①得
因此，
于是，
故
33．【解析】（Ⅰ）由可得
又
當時，，由，，可得；
當時，，可得；
當時，，可得；
（Ⅱ）證明：對任意
①
②
③
②—③，得
④
將④代入①，可得
即
又
因此是等比數列.
（Ⅲ）證明：由（II）可得，
于是，對任意，有
將以上各式相加，得
即，
此式當k=1時也成立.由④式得
從而
所以，對任意，
對于=1，不等式顯然成立.
所以，對任意
34．【解析】（Ⅰ）由已知，當n≥1時，
．而
所以數列{}的通項公式為．
（Ⅱ）由知
①
從而
②
①-②得
．
即
．
35．【解析】（Ⅰ）表4為
1
3
5
7
4
8
12
12
20
32
它的第1,2,3,4行中的數的平均數分別為4,8,16,32.
它們構成首項為4，公比為2的等比數列．將結這一論推廣到表（≥3），即表各行中的數的平均數按從上到下的順序構成首項為，公比為2的等比數列.
將這一結論推廣到表，即表各行中的數的平均數按從上到下的順序構成首項為，公比為2的等比數列．
簡證如下（對考生不作要求）
首先，表的第1行1，3，5，…，是等差數列，其平均數為；其次，若表的第行，，…，是等差數列，則它的第行，，…，也是等差數列．由等差數列的性質知，表的第行中的數的平均數與行中的數的平均數分別是
，．
由此可知，表各行中的數都成等差數列，且各行中的數的平均數按從上到下的順序構成首項為，公比為2的等比數列．
（Ⅱ）表第1行是1,3,5，…，2-1，其平均數是
由（Ⅰ）知，它的各行中的數的平均數按從上到下的順序構成首項為，公比為2的等比數列（從而它的第行中的數的平均數是），于是表中最后一行的唯一一個數為.因此
．(=1,2,3,
…,
不等式
第二十一講
不等式的綜合應用
2019年
1.(2019天津理13)設,則的最小值為
.
2010-2018年
一?選擇題
1.(2018北京)設集合則
A.對任意實數,
B.對任意實數,
C.當且僅當時,
D.當且僅當時,
2.(2017天津)已知函數設,若關于的不等式在上恒成立,則的取值范圍是
A.
B.
C.
D.
3.(2015北京)設是等差數列.下列結論中正確的是
A.若,則
B.若,則
C.若,則
D.若,則
4.(2015陜西)設,,若,,
,則下列關系式中正確的是
A.
B.
C.
D.
5.(2014重慶)若的最小值是
A.
B.
C.
D.
6.(2013福建)若,則的取值范圍是
A.
B.
C.
D.
7.(2013山東)設正實數滿足.則當取得最大值時,
的最大值為
A.0
B.1
C.
D.3
8.(2013山東)設正實數滿足,則當取得最大值時,
的最大值為
A.0
B.
C.2
D.
9.(2012浙江)若正數滿足,則的最小值是
A.
B.
C.5
D.6
10.(2012浙江)若正數滿足,則的最小值是
A.
B.
C.5
D.6
11.(2012陜西)小王從甲地到乙地的時速分別為和(),其全程的平均時速為,則
A.
B.=
C.
D.=
12.(2012湖南)已知兩條直線:
和:(),與函數的圖像從左至右相交于點,與函數的圖像從左至右相交于.記線段和在軸上的投影長度分別為,當
變化時,的最小值為
A.
B.
C.
D.
13.(2011陜西)設,則下列不等式中正確的是
A.
B.
C.
D.
14.(2011上海)若,且,則下列不等式中,恒成立的是
A.
B.
C.
D.
二?填空題
15.(2018天津)已知,且,則的最小值為
.
16.(2018浙江)已知,函數,當時,不等式的解集是___________.若函數恰有2個零點,則的取值范圍是___________.
17.(2017北京)已知,,且,則的取值范圍是_______.
18.(2017天津)若,,則的最小值為___________.
19.(2017江蘇)某公司一年購買某種貨物600噸,每次購買噸,運費為6萬元/次,一年的總存儲費用為萬元,要使一年的總運費與總存儲費之和最小,則的值是
.
20.(2017浙江)已知,函數在區(qū)間[1,4]上的最大值是5,則的取值范圍是
.
21.(2014浙江)已知實數滿足,,則的最大值是__;
22.(2014遼寧)對于,當非零實數a,b滿足,且使最大時,的最小值為
.
23.(2014遼寧)對于,當非零實數,滿足,且使最大時,的最小值為
.
24.(2014湖北)某項研究表明:在考慮行車安全的情況下,某路段車流量F(單位時間內經過測量點的車輛數,單位:輛/小時)與車流速度v(假設車輛以相同速度v行駛,單位:米/秒)?平均車長l(單位:米)的值有關,其公式為.
(Ⅰ)如果不限定車型,,則最大車流量為
輛/小時;
(Ⅱ)如果限定車型,,則最大車流量比(Ⅰ)中的最大車流量增加
輛/小時.
25.(2013天津)設a
+
b
=
2,
b>0,
則當a
=
時,
取得最小值.
26.(2013四川)已知函數在時取得最小值,則__.
27.(2011浙江)若實數滿足,則的最大值是____.
28.(2011湖南)設,則的最小值為
.
29.(2010安徽)若,則下列不等式對一切滿足條件的恒成立的是
(寫出所有正確命題的編號).
①;
②;
③;
④;
⑤
專題七
不等式
第二十一講
不等式的綜合應用
答案部分
2019年
1.解析
,,,
則;
由基本不等式,(當且僅當時,即,且時,即或時,等號成立).
故的最小值為.
2010-2018年
1.D【解析】點在直線上,表示過定點,斜率為的直線,當時,表示過定點,斜率為的直線,不等式表示的區(qū)域包含原點,不等式表示的區(qū)域不包含原點.直線與直線互相垂直,顯然當直線的斜率時,不等式表示的區(qū)域不包含點,故排除A;點與點連線的斜率為,
當,即時,表示的區(qū)域包含點,此時表示的區(qū)域也包含點,故排除B;當直線的斜率,即時,表示的區(qū)域不包含點,故排除C,故選D.
解法二
若,則,解得,所以當且僅當時,.故選D.
2.A【解析】解法一
函數的圖象如圖所示,當的圖象經過點時,可知.當的圖象與的圖象相切時,由,得,由,并結合圖象可得,要使恒成立,當時,需滿足,即,當時,需滿足,所以.
解法二
由題意時,的最小值2,所以不等式等價于
在上恒成立.
當時,令,得,不符合題意,排除C?D;
當時,令,得,不符合題意,排除B;
選A.
3.C
【解析】若是遞減的等差數列,則選項都不一定正確.若為公差為0的等差數列,則選項D不正確.對于C選項,由條件可知為公差不為0的正確數列,由等差中項的性質得,由基本不等式得,所以C正確.
4.B【解析】,,又在上單調遞增,
故,即,
,
.
5.D【解析】由已知得,且,可知,
所以(),.
當且僅當時取等號.
6.D【解析】本題考查的是均值不等式.因為,即,
所以,當且僅當,即時取等號.
7.B【解析】由,得.
所以,當且僅當,
即時取等號此時,.
,
故選B.
8.C【解析】由得,
,
當且僅當即時,有最小值1,
將代入原式得,
所以,
當時有最大值2.故選C.
9.C【解析】,,
.
10.C【解析】,,
.
11.A【解析】設從甲地到乙地所走路程為,
則.
,
,.選A.
12.B【解析】在同一坐標系中作出,(),圖像
如下圖,
由=
m,得,
=,得.
依題意得.
,.
13.B【解】(方法一)已知和,比較與,
因為,所以,同理由
得;作差法:,
所以,綜上可得;故選B.
(方法二)取,,
則,,所以.
14.D【解析】對于A取,此時,因此A不正確;對于B取
,此時,因此B不正確;對于C取,
此時,因此C不正確;對于D,,
,
,D正確.
15.【解析】由,得,
所以,
當且僅當,即時等號成立.
16.;【解析】若,則當時,令,得;當時,令,得.綜上可知,所以不等式的解集為.令,解得;令,解得或.因為函數恰有2個零點,結合函數的圖象(圖略)可知或.
17.【解析】由題意,,且,又時,,時,,當時,,所以取值范圍為.
18.4【解析】
,
當且僅當,且,即時取等號.
19.30【解析】總費用為,當且僅當,即時等號成立.
20.【解析】,
①當時,,
所以的最大值,即(舍去)
②當時,,此時命題成立.
③當時,,則
或,
解得或,
綜上可得,實數的取值范圍是.
21.【解析】由得,,則
,又,所以,
解得,故的最大值為.
22.-1【解析】設最大,則必須同號,
因為,
故有,,當且僅當時取等號,此時,
所以=.
23.-2
【解析】
設,則,因為,
所以將代入整理可得①,
由解得,當取得最大值時,,
代入①式得,再由得,
所以.
當且僅當時等號成立.
24.1900
100【解析】(Ⅰ),
當且僅當時等號成立.
(Ⅱ),當且僅當時等號成立.
.
25.-2【解析】=
當且僅當,即時取等號
故取得最小值時,.
26.【解析】因為,,
當且僅當,即,解得.
27.【解析】,
,即,
,.
28.9【解析】由柯西不等式可知.
29.①③⑤【解析】令,排除②④;由,
每個科目考試都有與其相對應的考試技巧，小升初數學考試也是如此，小升初數學考試可以用到的考試技巧都有哪些呢？
小升初數學考試技巧之一：考試完不要對答案
每一場考試結束之后不要對答案，考完的課程就不要再理會了，全心全意地準備下一場考試。
小升初數學考試技巧之二：使用適合學習所處階段的考試技巧
一般的，學習處于不同階段，例如在初級階段，你應該采用相對固定的、適合這個學習階段的考試技巧。對于你總結出的考試技巧，你要在考試中盡量執(zhí)行，考試時不要因感到考試題目簡單而沖動，也不要因感覺考試題目太難而亂了陣腳。
初級階段者考試時碰到某道沒有把握的題目，用邏輯推斷、考試技巧、“直覺”得出的結論都不同時，一般的，要以考試技巧得出的結論為正確的答案。這是因為初級階段者往往知識掌握的不好，判斷能力不行，直覺能力不夠。中級階段者考試時碰到某道沒有把握的題目時，用邏輯判斷、考試技巧、“直覺”得出的結論都不同時，往往應該以邏輯推斷的結論為正確答案。而高級階段者，可以把“直覺”作為判斷標準。
小升初數學考試技巧之三：拿到試卷后是否整體瀏覽一下
拿到試卷之后，可以總體上瀏覽一下，根據以前積累的考試經驗，大致估計一下試卷中每部分應該分配的時間。
小升初數學考試技巧之四：安排答題順序
關于考試時答題順序，一種策略是按照試卷從前到后的順序答題，另外一種策略是按照自己總結出的答題順序。無論采取哪種策略，你必須非常清楚每部分應該使用的最少和最多的答題時間。
按照自己總結的答題順序：先做那些即使延長答題時間，也不見得會得分更多的題目，后做那些需要仔細思考和推敲的題目。例如，數學先做會做的題目，再做難題，所謂難題，就是你思考了好幾分鐘仍然無法做出的題目。再例如，英語和語文，你可以先把填空、選擇、作文等題目做完，然后再做閱讀題目。
小升初數學考試技巧之五：確定每部分的答題時間
考試時能夠做完的課程：對于那些每次考試能做完的課程，例如英語、歷史等課程，你可以按照每部分考試分值的比例，確定每部分做題的時間。例如選擇題占20%的分數，你就必須在20%的考試時間內做完選擇題。然后，你再根據每次考試之后的得分情況，仔細分析是否可以在保證準確的情況下將某些部分的做題時間壓縮，這樣，你就有更多的時間來做相對花時間長的部分。
數學考試總結及反思 整體看法：這次月考結束了，我的成績不是很理想(或者：這次考得一般，反正不能說考得好)
具體分析出錯原因：
選擇題錯了哪幾題哪幾題，因為考試是過于緊張，沒看清題目，導致最后做錯，添空題錯了哪幾題哪幾題，等等原因。
最后總結與前幾次考試的對比，分析原因，說出努力方向。
再寫對比上次是進步了還是退步了，進步了就要繼續(xù)努力，退步了就要發(fā)現問題，找到錯因，爭取下次取得更好的成績。
數學考試總結與反思范文
這次數學考試我可謂是遭遇了“滑鐵盧”。連創(chuàng)多項歷史記錄：有史以來數學最低分;第一次最后兩面三道大題全錯;第一次錯在概率題上，而且還錯了兩個;第一次退步超過十分……也許有人這樣解釋：這次考試題難，大家分都低。可這并不適用于我，因為所有錯的題在考試后我都能輕松做出來，可是為什么還錯了那么多呢?原因主要是三個“粗心”：考試前粗心;考試時粗心。
因為考試前的粗心，關于“握手問題“只記住了公式，沒有搞清“互贈賀卡”和“握手”之間的區(qū)別，導致了第7題的錯誤。
考試時的粗心是最遺憾的。
1.第20題第(1)問并沒有要求列表(樹狀圖)，所以我沒有列表(樹狀圖)，為什么還算錯?關于這個問題，我考試前問過劉老師，確實是沒要求就可以不列表(樹狀圖)。如果考試時畫上這個圖，就能避免被扣分了。
2.上面的還不是最遺憾的，第23題錯的更加不可思議。23題(2)求出來有兩個解(3,5)，然后舍掉3。我在演草本上正確算出這兩個答案后，可抄到卷子上時卻把5寫成了15。雖然舍掉了3，但是正確答案5前面多余的1卻讓我一分沒得。
3.第24犯了低級的錯誤，其實這題并不難。如果我在完成考卷之后剩余的一小時檢查一下，就能避免錯誤。
在小學數學教學評價系統(tǒng)中，小學數學教育已經完全不是以往用“應試教育”可以概括的了，現今的小學教育更偏向“素質教育”，注重學生的全面發(fā)展，傾向于讓學生自主學習。
而小學數學的考核對小學數學教學評價系統(tǒng)起著至關重要的作用。因此，如何對小學數學考試命題進行設計是教師一直思考的問題，在很大程度上影響著小學數學教學質量。
一、在命題中修飾語氣
學生在小學數學考試時，首先看到的就是題目，所以說一份試卷上題目描述的好壞程度、合適程度直接影響學生在小學數學考試中的發(fā)揮。因此小學數學教師在進行出題的時候要十分重視命題的描繪。
例如，在小學數學三年級的考試試題中：春天來了，正是出門春游的好時候，于是王老師帶領自己班的18個學生乘車去游玩，走著走著，當他們逐漸靠近車站的時候發(fā)現了三輛車，分別如下，王老師到底要選擇哪輛車比較合適?請在你認為要選的那輛車后的()中畫“√”。
A.有15個座位的車() B.有20個座位的車() C.有22個座位的車()
而在小學數學一年級的試卷中就應該這樣出：王老師帶著18個小朋友乘車，用哪輛車比較好呢?在()畫“√”。
A.有15個座位的車() B.有20個座位的車() C.有22個座位的車()
學生在做這道題的時候，首先因為親切的語氣而深入這道題的語境，然后因為是一年級的學生，表述復雜程度不能太大而導致學生看不下去，選擇了語言簡單有趣的題目。所以說，小學數學試卷題目的描述應該考慮到學生的年齡、認知程度、是否經常進行測驗和題目的復雜程度。
二、在命題中貼近生活
在小學數學教學過程中，因為學生年齡較小，對抽象思維沒有過多接觸，特別是在小學數學教學中，數學學習很多都是抽象的，學生一開始不能理解，這對于在新課改后全面發(fā)展學生的各方面素質有很大的阻礙，教師在進行小學數學考試命題設計中要注意結合學生生活中的例子，使學生在考試中多聯系實際，讓學生輕松愉快進行考試。
例如，題目：“周末，小王和爸爸一起去逛街，爸爸給了小王6塊錢，小明買了一個玩具后，還剩下1/3，請問，小王的玩具花了多少錢?”學生在做這道題目的時候首先自己就回憶起了以前和爸爸出去逛街的情境，使學生在考試中的緊張情緒有所緩解。因此在命題中使題目接近生活有利于學生水平的發(fā)揮，有利于學生在考試中也能得到快樂的心情。
三、在命題中重視理解
在進行小學數學考試命題設計過程中，教師應該不只注重學生數學能力的考查，對于數學問題的理解和總結能力也需要進行考查。在教師命題的時候，可以通過閱讀文字、識別圖中的意思、分析表格等方式來考察學生的實際運用、考查學生能否通過觀察和分析把文字問題、圖像問題、表格問題轉化為數學問題，然后通過解答數學問題得出答案。
通過列舉生活中的例子來作為命題背景，真實自然、貼近生活，不僅考查了學生統(tǒng)計圖這方面的知識，還考查了學生讀圖的能力。
四、在命題中全面考察
在教育體制改革下，小學數學學習和考查不再僅限于單一的課程考察，而是各個學科的綜合考察。
例如，題目：在1903年紐約的一次數學報告會上，數學家科勒走上了講臺。他沒有說一句話，只是在黑板上寫了兩個算式并演算出結果，一個算式是67個2相乘減1，另外一個算式是193707721×761838257287，兩者的演算結果完全相同。
結果，觀眾發(fā)出了雷鳴般的掌聲。為什么觀眾會對這個結果如此在意以至于萬分激動呢?那是因為數學家科勒解決數學界兩百年都未能解決的難題，即67個2相乘減1的結果是不是質數，現在數學家科勒已經證明了兩個算式的結果完全相同，可以推導出“67個2相乘再減1的結果不是質數，而是合數”。
為什么呢?你能用本學期學過的知識說明“()”這句話嗎?本題不僅考查學生小學數學知識里的合數問題，也考查了學生的語言能力。它不僅給學生做題平添了幾分樂趣，考查了學生合數的概念，還涉及到了數學史的知識，使學生在做題中對數學的歷史事件深入了解。
五、總結
在如今教育改革不斷深化的情況下，小學數學教育和考核也應該順應時代的潮流進行轉變。在新課改的核心理念中，要以學生為本，讓學生全面發(fā)展。如何通過考核檢查學生是否得到了全面的發(fā)展是命題老師要思考的全新問題。
關鍵詞：高職院校 高等數學 考試
在各高職院校的考試中，高等數學是一向重要的測試，其結果可以測試應試學生數學思維訓練的情況和數學知識掌握程度，并且激勵和引導學生學習數學知識?？荚囍饕獌热莺蛯W習方法也一定要適應"知識型考核"過渡到"能力型考核"，最終達到高職技能型人才培養(yǎng)目標。從這一方面就要求高職院校要方式要多樣化的高等數學考核，要對學生的學習能力能夠全面考察。結合筆者多年高職高等數學的教學經驗，在教學實踐中對數學考試方式進行了探索和研究，筆者總結高職院校高等數學的成績考核以平時成績、總結論文和建模論文、期末考試這三個方面為主。
一、平時成績
在我國絕大部分學校高等數學的考核方式，只有期末考試，雖說也基于平時成績，但平時成績的好壞只是一個形式而以，而在實際操作過程中期末考試成績才是唯一的形式來衡量學生的學習情況。這種以期末考試終結式考核模式其實起不到對學生學習的督促作用。有不少學生在快要期末考試前就套題目，用以前的考試試卷湊起來，進行猜題押題。最后考試成績公布，對大多數學生考試不及格的情況，老師也是相當無奈，只能通過各種方法加分從而提高及格率。這就造成學生，走捷徑，急功近利，平時不用心學習的現狀。這種一錘定音的終結式考核模式中平時成績沒有起到作用是造成這種現狀的主要原因。所以在高等數學的考核中一定少不了平時成績，并且一定要保證平時成績能過起到調動學生學習積極性和主觀能性、培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神和能力的作用。以下幾個方面是平時成績的重要組成：
1、對平時的作業(yè)評價的重視
高校的高等數學的分類為基礎課程，比較多的班級上課，每一個教師帶比較多班級，如果因為這樣就不重視對平時作業(yè)的考核評價，將很大的影響學生的學習效果，相對于學習態(tài)度，學習紀律，學習風氣來說，平時作業(yè)對學習效果的好壞的密切相關性較高。要怎么來平衡老師沒有時間和要批改作業(yè)的矛盾呢？我們采取的方法是要求課代表收集作業(yè)，在作業(yè)本編號碼，督促所有學生交作業(yè)。老師隨機挑選一部分作業(yè)批改，對作業(yè)情況及時反饋，給予優(yōu)秀、合格、不合格、較差的等級評價，并且在作業(yè)后面用上激勵性的評語。直接在平時成績記分冊上記錄學生作業(yè)完成和交作業(yè)的等級情況。
2、運用面試的方式
讓每個學生都與老師有單獨面談的機會，對學生采取面對面的考試，能夠從中發(fā)現每個學生的學習真實情況，能激勵學生學習。老師可以利用課間時間點名叫學生面試。可以讓學生做一些計算量較小的題目，或者找某章的某一節(jié)的其中幾個概念讓學生談一談自己的理解情況等等。
3、重視期中考試
有一點對于高職學生特別重要，就是要重視學習的過程，弱化結果，因為他們自學能力不高，一個學期下來，即使考前壓力好大，他們可能考試的時候還是考不出好成績。通過期中考試老師能夠及時從中發(fā)現學習差的和學習好的同學，鼓勵學習差的同學向學習好的同學看齊。因為好的學習評價，會鼓勵學生繼續(xù)努力，而不好的學習評價也會促進學生盡早改變學習態(tài)度，努力趕上。但是此時方法實施起來存在一些障礙：因為高等數學期中考試涉及到比較多的班級，不可能統(tǒng)一組織，只能隨堂考試。又因高等數學大多數是大班課，學生人數相對較多，這就導致考試過程中，有些同學無所謂的態(tài)度，甚至等著抄襲他人的成果，這也就使考試紀律難維持，考試的作用打了不少折扣。這就要求期中考試做適當改革，可以采用抽查、抽考的形式等等。總之期中考試肯定要考，但是考試次數盡可能的少。
二歸納論文和建模論文
高職院校培養(yǎng)的是高技能、高素質型人才，學生通過學校三年的專業(yè)學習一定要掌握高強的應用能力和扎實的理論基礎。首先我們通過每章寫總結性論文使學生能夠深刻理解每章所學的基本概念和相應的思想方法，這樣學生就可以掌握扎實的理論基礎了。其次教學的重點不是數學知識本身，而是在于掌握數學方法和數學的思維方式，是學生所學的數學知識和方法能過應用于實際中，數學建模教學的目的是培養(yǎng)學生綜合應用數學知識解決實際問題的能力，所以在教學過程中，要讓學生了解數學建模的思想，應該結合各章節(jié)內容都要選取相應的數學模型。并且編寫部分和所學內容密切相關，需要查閱大量與之相關的資料才能完成的實際應用性的題目，讓學生隨機組合六個人一組，在七到十五天內，按照要求規(guī)范書寫論文。學生也可以自己提出問題，解決問題。這樣可以學以致用，從而提高學生對學習高等數學的興趣。
三、期末考試
期末考試要做到公平公正，因為期末考試是作為衡量學生學習能力的重要指標，試卷的命題不但要起到評價甄別的作用，而且要起到評價對學生的學習有促進和激勵作用，所有在期末考試內容上要下一番苦功。
1、適當增加基礎知識，基本概念方面的試題
高職院校高等數學考試要盡可能考到《高等數學》中涉及到的主要概念。考試試卷一定要有基本概念，因為概念是數學的基礎和核心，這類題目有小量的運算題，主要以填空和選擇體的形式出現，學生只要對概念的理解透徹就容易回答。
2、重計算技巧和方法
計算題總是在數學考試中占有較大的比重。但是隨著計算機的應用和發(fā)展，計算機代替認得計算內容越來越多，因此考試中的計算題不應以不常用的解答技巧來提高試題的難度，應該以基本的計算方法和計算技巧為主。
3、聯系生活實際，突出實用，
高職高等數學的考試內容既要重理論又要重實際，考試內容要加強與社會實際和學生生活經驗的聯系，重點考察學生分析問題解決問題的能力。所以高等數學考試的題目中應用題是不可缺少的，但由于受考試時間的限制，試題只能是一些簡單的應用，計算量也較小。
總之，高職院校學生學習高等數學的成績考核必須通過考試才能體現出來，但高職高等數學的考試形式是多樣化的，需要根據實際情況及時更新。所以作為一名高職院校的老師，要多方面的結合社會實際，根據發(fā)展需要及時調整高等數學的考試內容和形式，使其能夠起到引導作用。只有這樣，高等數學的教育才能適應社會發(fā)展的需要。
參考文獻
