時間：2023-07-27 15:58:52
序論：在您撰寫數(shù)學(xué)思維的含義時，參考他人的優(yōu)秀作品可以開闊視野，小編為您整理的7篇范文，希望這些建議能夠激發(fā)您的創(chuàng)作熱情，引導(dǎo)您走向新的創(chuàng)作高度。
一、營造有利的教學(xué)環(huán)境
情境具有強烈的吸引力，對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維及創(chuàng)造能力有著至關(guān)重要的作用。要形成學(xué)生主動學(xué)習(xí)、積極動腦、踴躍參與的課堂教學(xué)氛圍，教師就必須深入研究教材，突出學(xué)生的主體地位，尊重學(xué)生的不同觀點，鼓勵學(xué)生想象、質(zhì)疑甚至標(biāo)新立異，給予每位學(xué)生發(fā)表自己見解的機會，最大限度地消除學(xué)生的心理障礙。
如講到“反比例函數(shù)的圖像上有點A（3，2），求k的值”時，學(xué)生通過代入計算，可以求出k的值。如果教師停留在此不再深入講解求解的技巧，對下面的反比例函數(shù)圖像中關(guān)于面積的題目的講解起不到幫助作用。所以可以提問：如果A坐標(biāo)改為（，），賽一賽誰能最快求出k的值？引導(dǎo)學(xué)生探索，最終得出：用去分母的辦法可得xy=k，即只要是反比例函數(shù)圖像上的點（x，y），都滿足k=xy。
要求學(xué)生充分利用這個等式，接下來就可以出題，如：
若反比例函數(shù)的圖像過點（2，5），則點（ ）也在這個反比例函數(shù)的圖像上。
A.（10，-1） B.（5，2） C.（1，13） D.（2，-5）
有了上面的引入，這題無需求m的值，即可選出答案B。
二、充分揭示數(shù)學(xué)思維過程
在反比例函數(shù)圖像上的點，滿足xy=k，在平面直角坐標(biāo)系的第一象限中可隨便描幾個在同一反比例函數(shù)圖像上的點，如圖1所示。
圖1 圖2
在描點的過程中，學(xué)生可以看出點A（a，b），B（s，t），ab=k，st=k，就是兩個矩形的面積。如果把矩形的一條過原點的對角線連接（如圖2所示），則可發(fā)現(xiàn)SAOD =SAOE =SBOC =SBOF=。進而讓學(xué)生考慮：如果畫在其他象限內(nèi)的點，是否也有如上的規(guī)律？如果把這條對角線與雙曲線的另一支交點也畫出，那么這條直線和雙曲線構(gòu)成的是什么圖形？這個結(jié)論對以后的解題是否有幫助？
教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生運用邏輯思維、形象思維以及直覺思維等多種思維方式，使題目中的相關(guān)信息有序化，通過學(xué)生的自主思考產(chǎn)生積極的效果或成果，這種創(chuàng)造性思維能力是正常人通過后天的思考、培養(yǎng)就可以具備的。
三、精選練習(xí)，緊扣重點
要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，教學(xué)中就必須采用開放式的教學(xué)方法，充分揭示解題的思維過程。因為學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識雖然是前人創(chuàng)造性思維的成果，但是學(xué)生作為學(xué)習(xí)的主體處于再發(fā)現(xiàn)的地位，學(xué)習(xí)活動本質(zhì)上仍然具有發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的性質(zhì)，因此解題的思維過程比題目答案本身更應(yīng)值得重視。
如圖3所示，直線l和雙曲線（k>0）交于A、B兩點，P是線段AB上的點（不與A、B重合），過點A，B，P分別向x軸作垂線，垂足分別為C，D，E，連接OA，OB，OP，設(shè)SAOC=S1，SBOD=S2，SPOE=S3，試比較S1，S2，S3的大小： 。
解答：經(jīng)過上面知識的學(xué)習(xí)，如圖4所示，因為點A、B在雙曲線上，所以S1=S2=。而點P不在反比例函數(shù)的圖像上，所以S3≠，設(shè)PE與雙曲線交點為F，連接OF，SOEF=。所以S3>，答案是S1=S2
圖3 圖4 圖5
如圖5所示，正比例函數(shù)y=x與反比例函數(shù)的圖像交于A、C兩點，ABx軸于B，CDx軸于D，則ABCD的面積= 。
分析：由上面的討論，直線、雙曲線都是中心對稱圖形，如果一條經(jīng)過原點的直線和雙曲線相交則還是構(gòu)成中心對稱圖形，因此A、C兩點關(guān)于原點成中心對稱，即AB與CD平行且相等，則四邊形ABCD為平行四邊形，那么對角線AC、BD則把ABCD面積四等分。
解答：SABCD是4個AOB的面積，SAOB==，答案是4×=2。
著名德國數(shù)學(xué)家希爾伯特在哥廷根大學(xué)任教時，常常在課堂上即興提出一些新的數(shù)學(xué)問題，并立即著手解決。雖然他并非每次都能得到圓滿的解答，甚至有時把自己“掛”在黑板上，但他發(fā)現(xiàn)的思維過程卻使學(xué)生受益匪淺。我國數(shù)學(xué)家華羅庚教授在自己的教學(xué)生涯中，也一向重視概念產(chǎn)生、命題形成及思路獲得的思維過程的教學(xué)，并著意回答學(xué)生提出的“你是怎樣想出來的”一類問題。這些事例充分說明了展現(xiàn)數(shù)學(xué)思維過程對于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要作用。
四、激發(fā)學(xué)生的好奇心、求知欲
李政道說：“好奇心很重要，有了好奇心，才敢提出問題?！苯處熥钪匾囊豁椔氊?zé)就在于，要把學(xué)生的好奇心引導(dǎo)到探求科學(xué)知識上去，使這種好奇心升華為求知欲，從而激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的積極性。
經(jīng)過上面幾道求面積的題目訓(xùn)練后，對于下面幾題，學(xué)生們應(yīng)該躍躍欲試了。
圖6
如圖6所示，在反比例函數(shù)（x>0）的圖像上，有點P1，P2，P3，P4，它們的橫坐標(biāo)依次為1，2，3，4。分別過這些點作x軸與y軸的垂線，圖中所構(gòu)成的陰影部分的面積從左到右依次為S1，S2，S3，則S1+S2+S3= 。
解答：可利用面積割補法，把S1，S2，S3放到由P1與x、y軸構(gòu)成的矩形中，而由P4與x、y軸構(gòu)成的矩形被四等分，得出S1+S2+S3=SAP1BO=2-0.5=1.5。
如圖7所示，兩個反比例函數(shù)和（其中k1>k2>0）在第一象限內(nèi)的圖像依次是C1和C2，設(shè)點P在C1上，PCx軸于點C，交C2于點A，PDy軸于點D，交C2于點B，則四邊形PAOB的面積為_________。
圖7
解答：構(gòu)成的陰影部分面積，正好是矩形面積減去兩個直角三角形面積，即k1-k2。
教學(xué)過程中，只有通過選擇和安排合理的、有引導(dǎo)性的問題，才能不斷激發(fā)學(xué)生的好奇心與求知欲。一個恰當(dāng)而富有吸引力的問題往往能撥動全班學(xué)生思維之弦，奏出一曲耐人尋味，甚至波瀾起伏的大合唱。因此善問是數(shù)學(xué)教師的基本功，也是所有數(shù)學(xué)教育家十分重視并長期研究的一項課題。
五、結(jié)束語
數(shù)學(xué)教學(xué)中只有培養(yǎng)學(xué)生的“愛學(xué)”態(tài)度、“樂學(xué)”情緒、“會學(xué)”技巧、“自學(xué)”能力，突出“優(yōu)化思維品質(zhì)，培養(yǎng)思維能力”，開闊視野，理論聯(lián)系實際，培養(yǎng)解決問題能力，才能使學(xué)生更適應(yīng)社會發(fā)展。
參考文獻
[1] 任樟輝.數(shù)學(xué)思維理論[M].南寧：廣西教育出版社，2001.
[2] 李玉琪.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與實踐研究[M].北京：高等教育出版社，2001.
[3] 傅海倫數(shù)學(xué)教學(xué)論[M].北京：科學(xué)出版社，2004.
[4] 肖利民.數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)生創(chuàng)造思維能力的培養(yǎng)的影響[J].濮陽教育學(xué)院學(xué)報，2003（2）：51-52.
[5] 謝傳建.淺談數(shù)學(xué)教學(xué)中創(chuàng)造思維能力的培養(yǎng)[J].福建教育學(xué)院學(xué)報，2003（3）：62.
[6] 陶國富.創(chuàng)造心理學(xué)[M].上海：立信會計出版社，2002.
關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；函數(shù)教學(xué)；數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)
函數(shù)，是初中階段中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點。但是，不可否認(rèn)，作為綜合性極強、探究性極高的知識，函數(shù)教學(xué)對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的激發(fā)和培養(yǎng)有著極其重要的作用和意義。故此，對初中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)所能培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的能力進行重點分析，并深入探究函數(shù)教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生具體能力的措施和方法，不僅有利于初中學(xué)生學(xué)習(xí)水平的提升和強化，還有利于我國初中數(shù)學(xué)教學(xué)事業(yè)的整體發(fā)展和進步。
一、選擇判斷能力及其培養(yǎng)方式
（一）概念
作為數(shù)學(xué)創(chuàng)造能力的主要構(gòu)成部分，選擇能力和判斷能力不可或缺。這一能力的表現(xiàn)主要可以從兩個方面進行：一，判斷和確定數(shù)學(xué)推理的基本過程以及最終結(jié)論正誤。二，估計并選擇數(shù)學(xué)相關(guān)的命題、解決思路、事實、以及最佳方案等。從某種程度分析，判斷能力其實就是思維者對自身思維活動的自我反饋能力，而選擇能力則是思維者綜合考慮所有因素后最終做出決定的能力。
（二）培養(yǎng)方式
學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)相關(guān)知識時，必然離不開相應(yīng)的的數(shù)學(xué)選擇能力和判斷能力。故此，在具體的函數(shù)教學(xué)過程中，教師可以利用函數(shù)正反面變式對學(xué)生進行選擇判斷能力的培養(yǎng)和提升。也就是說，讓學(xué)生針對函數(shù)正反面變式進行題組和問答的選擇與判斷，在一系列的解答過程和判定過程中，不斷培養(yǎng)學(xué)生相應(yīng)的選擇能力和判斷能力。
二、抽象概括能力及其培養(yǎng)方式
（一）概念
從本質(zhì)上講，數(shù)學(xué)范圍內(nèi)任何的概念、規(guī)律、算式或是符號，都可以稱為是抽象概括的結(jié)果。所以，想要將學(xué)生對事物的感性認(rèn)知成功轉(zhuǎn)變成理性認(rèn)知，就需要培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力。作為智力與能力的核心成分，思維至關(guān)重要，但是，概括作為思維最基本的特征，在其自身發(fā)展和后續(xù)培養(yǎng)過程中有著極其重要的作用和意義。
（二）培養(yǎng)方式
在初中數(shù)學(xué)的函數(shù)教學(xué)中，大部分函數(shù)知識的教學(xué)都可以有效培養(yǎng)并提升學(xué)生的抽象概括能力。以“一次函數(shù)”的相關(guān)知識為例，不僅讓學(xué)生學(xué)習(xí)了正比例函數(shù)的概念、性質(zhì)、特征以及常用表達公式y(tǒng)=kx等，還經(jīng)過知識擴展和推廣，讓學(xué)生理解了一次擴展函數(shù)y=kx+b的特征、概念以及性質(zhì)等?？陀^而言，這一系列知識的學(xué)習(xí)和理解都可以歸納為學(xué)生抽象概括能力的培養(yǎng)和提升。另外，教師利用函數(shù)例題對學(xué)生進行相關(guān)能力培養(yǎng)時，也可以將函數(shù)知識與實際問題相結(jié)合，從而在不斷激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的基礎(chǔ)上，促使其抽象概括能力得以提升。
例如：一超市正在進行優(yōu)惠促銷活動，針對茶壺和茶杯的優(yōu)惠方式有兩種：一，買一送一。二，九折奉送。且兩種方式的優(yōu)惠前提均需要購買三個以上的茶壺。問：這兩種優(yōu)惠方式有差別嗎？哪一種更優(yōu)惠？
針對這一類題，教師就可以積極引導(dǎo)學(xué)生進行思維擴展和延伸，可以讓學(xué)生自行設(shè)定每個茶壺和茶杯的單價以及函數(shù)未知數(shù)，然后利用兩種優(yōu)惠方式進行最終價格比對。在此過程中，學(xué)生通過單價確定、未知數(shù)評估、方式比對等，會形成一定程度的抽象概括能力。經(jīng)過各種題型的訓(xùn)練，學(xué)生這一能力也會不斷得到加強和提升，最終達到成熟的地步。
三、數(shù)學(xué)探索能力及其培養(yǎng)方式
（一）概念
數(shù)學(xué)探索能力，是一種有別于選擇判斷能力以及抽象概括能力的高級數(shù)學(xué)思維，是在綜合了一定能力的基礎(chǔ)上形成并發(fā)展起來的。嚴(yán)格意義上講，數(shù)學(xué)探索能力其實是一個創(chuàng)造性思維的綜合能力。在數(shù)學(xué)中，探索主要表現(xiàn)在數(shù)學(xué)問題的提出、數(shù)學(xué)結(jié)論的探求、數(shù)學(xué)解題途徑和策略的探索以及數(shù)學(xué)解題規(guī)律的尋找等方面，而探索能力則主要表現(xiàn)在設(shè)想的提出以及設(shè)想轉(zhuǎn)變的進行等方面。
（二）培養(yǎng)方式
在函數(shù)的教學(xué)過程中，想要培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的探索能力，就必須切實做好課題教學(xué)的相關(guān)工作。讓學(xué)生針對討論價值高、挑戰(zhàn)性強、探索性強的研究課題進行課題學(xué)習(xí)，不僅可以推動和促進學(xué)生應(yīng)用函數(shù)相關(guān)知識進行實際問題解決和處理，使其對應(yīng)的意識和能力得到深層次發(fā)展和培養(yǎng)，還能最大限度地幫助學(xué)生進行函數(shù)相關(guān)知識的認(rèn)知、理解和記憶，使其進一步認(rèn)識和理解函數(shù)變量間的關(guān)系以及變量變化的客觀規(guī)律。
例如：有一長度為20米的欄桿，若一面靠墻，怎樣圍才能圍出一個面積最大的矩形花圃？
對于這類題型的課題研究，教師可以首先要求學(xué)生進行“特殊值嘗試”，將其一邊長依次設(shè)為1，2，3，4，5，6，7，8，???，則另一邊長可求出，依次為18，16，14，12，10，8，6，4，2，???，如此，其對應(yīng)面積依次為18，32，42，48，50，48，42，32，18，???。通過觀察可以發(fā)現(xiàn)其面積和設(shè)定的邊長有著必然的聯(lián)系，其變化規(guī)律也相當(dāng)直觀。由此，便可引出一元二次函數(shù)方程式：Y=x（20-2x），求出面積最大值為50。
通過這樣的思維培養(yǎng)，相信無論是學(xué)生的選擇判斷能力，還是數(shù)學(xué)探索能力，都能得到一定程度的提升。
關(guān)鍵詞： 高中數(shù)學(xué) 函數(shù) 解題
高中數(shù)學(xué)解題受到函數(shù)概念認(rèn)知的干預(yù)，在高中數(shù)學(xué)習(xí)題解答中，函數(shù)模型的應(yīng)用有著很重要的作用，要想高效解答高中函數(shù)習(xí)題，利用函數(shù)模型解答是最正確的行為。高中數(shù)學(xué)中最困擾學(xué)生的一個問題就是函數(shù)，大多數(shù)高中生對函數(shù)概念的認(rèn)知程度不夠，導(dǎo)致函數(shù)習(xí)題解答中出現(xiàn)了很多困難，學(xué)生對高中數(shù)學(xué)產(chǎn)生畏懼心理。高中生必須具備函數(shù)概念認(rèn)知，才能從根本上解決函數(shù)習(xí)題中遇到的困難，減輕對函數(shù)乃至于數(shù)學(xué)的畏懼心理。
一、認(rèn)識函數(shù)
1.認(rèn)識重要性，提高學(xué)習(xí)動力。
學(xué)生大量接觸函數(shù)是在高中時期，函數(shù)是大多數(shù)高中生心目中比較難掌握的知識點，但是高中時期函數(shù)是數(shù)學(xué)課中很重要的知識點，要想提高高中生的數(shù)學(xué)成績，就必須解決函數(shù)這個對高中生來說很難的問題。對一般實際生活中的問題利用函數(shù)模型解決就是函數(shù)，高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，函數(shù)占據(jù)重要地位，并且是最難懂最難學(xué)的知識點，函數(shù)在大多數(shù)高中生心目中并沒有清晰的認(rèn)知，導(dǎo)致函數(shù)學(xué)習(xí)中存在很多不容易解決的難題。并不是說沒有辦法提高高中生對函數(shù)概念的認(rèn)知，深入了解函數(shù)模型和概念，能夠有效解決函數(shù)中的難題[1]。函數(shù)同時是高考數(shù)學(xué)科目考查的難點和重點，所以對函數(shù)概念進行深刻把握具有重要意義。
2.了解概念，破除認(rèn)知障礙。
函數(shù)的概念：設(shè)在某變化過程中有兩個變量x、y，如果對于x在某一范圍內(nèi)的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與它對應(yīng)，那么就稱y是x的函數(shù)，x叫做自變量。
在一般書籍和資料中，函數(shù)的概念就是用x和y表示一個函數(shù)模型，函數(shù)習(xí)題中經(jīng)常解決的是實際存在的問題，高中學(xué)生的函數(shù)學(xué)習(xí)任務(wù)就是利用函數(shù)模型對這些實際問題進行解決。函數(shù)對于高中學(xué)生來說并不陌生，學(xué)生對實際中存在的問題也不陌生，但是在解決實際問題中使用函數(shù)就不一樣了，大多數(shù)高中生利用函數(shù)模型解決實際問題的時候常常不能靈活運用函數(shù)模型，學(xué)生對函數(shù)概念的認(rèn)知障礙就是這樣形成的[2]。所以必須提高學(xué)生利用函數(shù)解決實際問題的能力，但是提高運用能力的時候首先要對函數(shù)的概念有深刻的認(rèn)識。
二、函數(shù)的了解方法
1.參考資料，實地思考。
高中學(xué)生深入了解函數(shù)概念的最主要方式就是參考相關(guān)資料，翻閱對函數(shù)模型有一定解釋的書籍，通過書籍中對函數(shù)概念的理解對函數(shù)概念有深入認(rèn)識。高中函數(shù)最重要的問題就是利用函數(shù)解決實際生活中的問題，所以通過相關(guān)資料和書籍對函數(shù)概念有深刻認(rèn)識之后，要結(jié)合實際生活情況，把習(xí)題放進實際生活環(huán)境中解答，這樣關(guān)于函數(shù)的一切問題就會變得更加簡單化和生活化，再把和習(xí)題相關(guān)的函數(shù)模型運用到習(xí)題解答中，就能快速高效地解答函數(shù)習(xí)題。
2.結(jié)合實際，舉例分析。
枯燥的理論對于學(xué)生的學(xué)習(xí)來說往往不重要，為了讓學(xué)生感受到課堂樂趣及讓學(xué)生更信服，需要相關(guān)函數(shù)例子佐證。
案例：
題目：納稅是我國每一個公民都應(yīng)該盡到的義務(wù)，進行生產(chǎn)經(jīng)營活動的商鋪和企業(yè)必須向稅務(wù)部繳納一定的稅務(wù)。某市對于服裝業(yè)的稅收標(biāo)準(zhǔn)如下：每月銷售額在2000元以內(nèi)的征稅400元，超過2000元的，前2000元收300元的稅款，超出2000元部分的稅率是3%.
問：（1）寫出該市服裝業(yè)征收的稅金y（元）和營業(yè)額x（元）的函數(shù)關(guān)系式。
（2）該市某一個服裝店7月份的營業(yè)額是50000元，這家服裝店七月份該繳納的稅金為多少？
分析：這道函數(shù)習(xí)題背景就是我國一般的納稅問題，結(jié)合實際生活中納稅的情況進行分析，根據(jù)題目中表達的情況，對稅金（y）和營業(yè)額（x）之間的函數(shù)關(guān)系式進行設(shè)定，這樣不僅解決了函數(shù)習(xí)題，而且是對實際生活中的問題的解答。
高中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)受到函數(shù)概念認(rèn)知的影響和干預(yù)很大，用函數(shù)習(xí)題的解答能夠幫助學(xué)生對函數(shù)概念有深刻的認(rèn)知，靈活地對實際生活中的問題利用函數(shù)概念解決。
三、結(jié)語
在高中數(shù)學(xué)乃至高考數(shù)學(xué)科目中，函數(shù)占據(jù)重要地位，所以高中學(xué)生必須學(xué)好函數(shù)。利用函數(shù)模型解答實際生活中的問題，這就是數(shù)學(xué)解題受到函數(shù)概念認(rèn)知干預(yù)的后果。
參考文獻：
[1]朱健忠.例析三角函數(shù)的解題技巧[J].理科考試研究（高中版），2014，21（7）：14.
關(guān)鍵詞：函數(shù) 定義域 思維品質(zhì) 解題
思維品質(zhì)是指個體思維活動特殊性的外部表現(xiàn).它包括思維的嚴(yán)密性、思維的靈活性、思維的深刻性、思維的批判性和思維的敏捷性等品質(zhì).函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的主線，貫穿于整個高中數(shù)學(xué)的始終.函數(shù)的定義域是構(gòu)成函數(shù)的三大要素之一，函數(shù)的定義域(或變量的允許值范圍所組成的集合)似乎是非常簡單的，然而在解決問題中不加以注意，常常會使人誤入歧途.在解函數(shù)題中強調(diào)定義域?qū)忸}結(jié)論的作用與影響，對提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)是十分有益的.本文就常見的函數(shù)解題與函數(shù)定義域的密切解析以具體案例的形式展開論述。
1.函數(shù)解析式與定義域
函數(shù)解析式包括定義域和對應(yīng)法則，所以在求函數(shù)的解析式時必須要考慮所求函數(shù)解析式的定義域，否則所求函數(shù)解析式可能是錯誤的.
案例1：某單位計劃建筑一矩形圍墻，現(xiàn)有材料可筑墻的總長度為100m，求矩形的面積S與矩形長x的函數(shù)解析式？
解：設(shè)矩形的長為x米，則寬為(50－x)米，由題意得：S=x(50-x)
故所求函數(shù)的解析式為：S=x(50-x)．
如果解題到此為止，則本題的函數(shù)解析式還欠完整，缺少自變量x的范圍.也就說學(xué)生的解題思路不夠嚴(yán)密.因為當(dāng)自變量x取負(fù)數(shù)或不小于50的數(shù)時，S的值是負(fù)數(shù)，即矩形的面積為負(fù)數(shù)，這與實際問題相矛盾，所以還應(yīng)補上自變量x的范圍：0
即：函數(shù)的解析式為：S=x(50-x) （0
這個例子說明，在用函數(shù)方法解決實際問題時，必須要注意到函數(shù)定義域的取值范圍對實際問題的影響.若考慮不到這一點，就體現(xiàn)出學(xué)生思維缺乏嚴(yán)密性.若注意到定義域的變化，就說明學(xué)生的解題思維過程體現(xiàn)出較好思維的嚴(yán)密性.
2.函數(shù)最值與定義域
函數(shù)的最值是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上能否取到最大(小)值的問題.如果不注意定義域，將會導(dǎo)致最值的錯誤.
案例2：求函數(shù)y=x2-2x-3在[-2,5]上的最值．
解：y= x2-2x-3=( x2-2x+1)-4=(x-1)2-4
當(dāng)x=1時，ymin=-4
初看結(jié)論，本題似乎沒有最大值，只有最小值.產(chǎn)生這種錯誤的根源在于學(xué)生是按照求二次函數(shù)最值的思路，而沒有注意到已知條件發(fā)生變化.這是思維呆板性的一種表現(xiàn)，也說明學(xué)生思維缺乏靈活性.
其實以上結(jié)論只是對二次函數(shù)y= ax2+bx+c(a>0)在R上適用，而在指定的定義域區(qū)間[p,q]上，它的最值應(yīng)分如下情況：
⑴ 當(dāng) 時，y=f(x)在[p,q]上單調(diào)遞增函數(shù)f(x)min=f(p),f(x)max=f(q)；
⑵ 當(dāng) 時，y=f(x)在[p,q]上單調(diào)遞減函數(shù)f(x)max=f(p),f(x)min=f(q)；
⑶ 當(dāng) 時，y=f(x)在[p,q]上最值情況是：f(x)min= ，
f(x)max=max{f(p),f(q)}．即最大值是f(p),f(q)中最大的一個值.
故本題還要繼續(xù)做下去：-2≤1≤5 f(-2)=(-2)2-2×(-2)-3=-3
f(5)=52-2×5-3=12
f(x)max=max{f(-2),f(5)}=f(5)=12
函數(shù)y=x2-2x-3在[-2，5]上的最小值是-4，最大值是12．
這個例子說明，在函數(shù)定義域受到限制時，若能注意定義域的取值范圍對函數(shù)最值的影響，并在解題過程中加以注意，便體現(xiàn)出學(xué)生思維的靈活性.
3.函數(shù)值域與定義域
函數(shù)的值域是該函數(shù)全體函數(shù)值的集合，當(dāng)定義域和對應(yīng)法則確定，函數(shù)值也隨之而定.因此在求函數(shù)值域時，應(yīng)注意函數(shù)定義域.
案例3：求函數(shù) 的值域．
錯解：令t= ,則2x=t2+3
y=2(t2+3)-5+t=2t2+t+1=
故所求的函數(shù)值域是 ．
剖析：經(jīng)換元后，應(yīng)有t≥0，而函數(shù)y=2t2+t+1在[0,+∞)上是增函數(shù)，
所以當(dāng)t=0時，ymin=1．
故所求的函數(shù)值域是[1, +∞）．
以上例子說明，變量的允許值范圍是何等的重要，若能發(fā)現(xiàn)變量隱含的取值范圍，精細地檢查解題思維的過程，就可以避免以上錯誤結(jié)果的產(chǎn)生.也就是說，學(xué)生若能在解好題目后，檢驗已經(jīng)得到的結(jié)果，善于找出和改正自己的錯誤，善于精細地檢查思維過程，便體現(xiàn)出良好的思維批判性。
4.函數(shù)奇偶性與定義域
判斷函數(shù)的奇偶性，應(yīng)先考慮該函數(shù)的定義域區(qū)間是否關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱，如果定義域區(qū)間是關(guān)于坐標(biāo)原點不成中心對稱，則函數(shù)就無奇偶性可談.否則要用奇偶性定義加以判斷.
案例4：判斷函數(shù)y=x3,x∈[-1,3]的奇偶性．
解：2 ∈[-1,3]而-2 [-1,3]
定義域區(qū)間[-1,3]關(guān)于坐標(biāo)原點不對稱
函數(shù)y=x3,x∈[-1,3]是非奇非偶函數(shù)．
若學(xué)生像以上這樣的過程解完這道題目，就很好地體現(xiàn)出學(xué)生解題思維的敏捷性.
如果學(xué)生不注意函數(shù)定義域，那么判斷函數(shù)的奇偶性得出如下錯誤結(jié)論： f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)函數(shù)y=x3, x∈[-1,3]是奇函數(shù)．
錯誤剖析：因為以上做法是沒有判斷該函數(shù)的定義域區(qū)間是否關(guān)于原點成中心對稱的前提下直接加以判斷所造成，這是學(xué)生極易忽視的步驟，也是造成結(jié)論錯誤的原因.
5.結(jié)束語
綜上所述，在求解函數(shù)解析式、最值(值域)、單調(diào)性、奇偶性等問題中，若能精細地檢查思維過程，思辨函數(shù)定義域有無改變(指對定義域為R來說)，對解題結(jié)果有無影響，就能提高學(xué)生質(zhì)疑辨析能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，從而不斷提高學(xué)生思維能力，進而有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性.
參考文獻
關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué) 函數(shù)定義域 思維品質(zhì)
學(xué)生進入高中，學(xué)習(xí)集合這一基本工具后，就開始了高中函數(shù)的學(xué)習(xí)。用集合的觀點定義了函數(shù)，進而開始了對函數(shù)的研究。然而，不管是求函數(shù)解析式、值域，還是研究其性質(zhì)，都離不開對定義域的研究。
一、函數(shù)關(guān)系式與定義域
函數(shù)關(guān)系式包括定義域和對應(yīng)法則，所以在求函數(shù)的關(guān)系式時必須要考慮所求函數(shù)關(guān)系式的定義域，否則所求函數(shù)關(guān)系式可能是錯誤。如：
例1：用籬笆圍一個矩形菜園，現(xiàn)有籬笆總長度為100m，求矩形菜園的面積S與矩形長x的函數(shù)關(guān)系式？
解：設(shè)矩形的長為x米，則寬為（50-x）米，由題意得：S=（50-x）
故函數(shù)關(guān)系式為：S=x（50-x） .
如果解題到此為止，則本題的函數(shù)關(guān)系式還欠完整，缺少自變量x的范圍。也就說學(xué)生的解題思路不夠嚴(yán)密。因為當(dāng)自變量x取負(fù)數(shù)或不小于50的數(shù)時，S的值是負(fù)數(shù)，即矩形的面積為負(fù)數(shù)，這與實際問題相矛盾，所以還應(yīng)補上自變量x的范圍： 0
即：函數(shù)關(guān)系式為：S=x（50-x） （0
這個例子說明，在用函數(shù)方法解決實際問題時，必須要注意到函數(shù)定義域的取值范圍對實際問題的影響。這體現(xiàn)了思維的嚴(yán)密性，培養(yǎng)學(xué)生此項品質(zhì)是十分必要的。
另外如：y=x和 雖然對應(yīng)關(guān)系相同，但定義域不同，也是不同的函數(shù)。
二、函數(shù)值域與定義域
函數(shù)的值域是該函數(shù)全體函數(shù)值的集合，當(dāng)定義域和對應(yīng)法則確定，函數(shù)值也隨之而定。因此在求函數(shù)值域時，應(yīng)注意函數(shù)定義域。如：
例2：求函數(shù) 的值域.
錯解：令
故所求的函數(shù)值域是 .
剖析：經(jīng)換元后，應(yīng)有t≥0，而函數(shù) 在[0，+∞）上是增函數(shù)，
所以當(dāng)t=0時，ymin=1.
故所求的函數(shù)值域是[1， +∞）.
以上例子說明，變量的允許值范圍的重要性，若能發(fā)現(xiàn)變量隱含的取值范圍，精細地檢查解題思維的過程，就可以避免以上錯誤結(jié)果的產(chǎn)生。
求函數(shù)值域，往往也會想到函數(shù)最值的求解。這里以二次函數(shù)
為例舉例說明。
例3：求函數(shù) 在[1，4]上的最值.
解：
當(dāng) 時，
初看本題似乎沒有最大值，只有最小值。產(chǎn)生這種錯誤的根源在于學(xué)生是按照求二次函數(shù)最值的思路，而沒有注意到此題定義域不是R，而是[1，4]。這是思維呆板性的一種表現(xiàn)，也說明學(xué)生思維缺乏靈活性。學(xué)生只知道利用對稱軸求二次函數(shù)最值。然而，那往往是定義域是R的時候，當(dāng)條件改變時，需要考慮完善。本題還要繼續(xù)做下去：
f（4）=42-4x4-5=-5
函數(shù) 在[1，4]上的最小值是-9，最大值是―5.
這個例子說明，在函數(shù)定義域受到限制時，應(yīng)注意定義域的取值范圍對函數(shù)最值的影響，并在解題過程中加以注意，這說明思維的靈活性很重要。
三、函數(shù)單調(diào)性與定義域
函數(shù)單調(diào)性是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上函數(shù)自變量增加時，函數(shù)值隨著增減的情況，所以討論函數(shù)單調(diào)性必須在給定的定義域區(qū)間上進行。如：
例4：求出函數(shù)f（x）=1n（4+3x-x2）的單調(diào)區(qū)間.
解：先求定義域：
函數(shù)定義域為（-1，4）.
令 ，知在 上時，u為減函數(shù)，
在 上時， u為增函數(shù)。
又
即函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間 ，單調(diào)遞減區(qū)間是 。
如果在做題時，沒有在定義域的兩個區(qū)間上分別考慮函數(shù)的單調(diào)性，就說明學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性的概念一知半解，在做練習(xí)或作業(yè)時，只是對題型，套公式，而不去領(lǐng)會解題方法的實質(zhì)，也說明學(xué)生的思維缺乏深刻性。此題正解應(yīng)該是函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間 ，單調(diào)遞減區(qū)間是 。
四、函數(shù)奇偶性與定義域
判斷函數(shù)的奇偶性，應(yīng)先考慮該函數(shù)的定義域區(qū)間是否關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱，如果定義域區(qū)間關(guān)于坐標(biāo)原點不成中心對稱，則函數(shù)就無奇偶性可談。否則要用奇偶性定義加以判斷。如：
例5：判斷函數(shù) 的奇偶性.
解： 定義域區(qū)間 不關(guān)于坐標(biāo)原點對稱
函數(shù) 是非奇非偶函數(shù).
若學(xué)生像以上這樣的過程解完這道題目，就很好地體現(xiàn)出學(xué)生解題思維的敏捷性
如果學(xué)生不注意函數(shù)定義域，那么判斷函數(shù)的奇偶性可能得出如下錯誤結(jié)論：
函數(shù) 是奇函數(shù).
綜上所述，在求解函數(shù)關(guān)系式、最值（值域）、單調(diào)性、奇偶性等問題中，若能精細地檢查思維過程，思辨函數(shù)定義域有無改變（指對定義域為R來說），對解題結(jié)果有無影響，就能提高學(xué)生辨析理解能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力。
參考文獻：
一、函數(shù)關(guān)系式與定義域
函數(shù)關(guān)系式包括定義域和對應(yīng)法則，所以在求函數(shù)的關(guān)系式時必須考慮所求函數(shù)關(guān)系式的定義域，否則所求函數(shù)
關(guān)系式可能是錯誤。如：
例1：某單位計劃建筑一矩形圍墻，現(xiàn)有材料可筑墻的總長度為100m，求矩形的面積S與矩形長x的函數(shù)關(guān)系式？
解：設(shè)矩形的長為x米，則寬為（50-x）米，由題意得：
S=x（50-x）
故函數(shù)關(guān)系式為：S=x（50-x）。
如果解題到此為止，則本題的函數(shù)關(guān)系式還欠完整，缺少自變量x的范圍。也就說學(xué)生的解題思路不夠嚴(yán)密。因為當(dāng)自變量x取負(fù)數(shù)或不小于50的數(shù)時，S的值是負(fù)數(shù)，即矩形的面積為負(fù)數(shù)，這與實際問題相矛盾，所以還應(yīng)補上自變量的范圍：0＜x＜50。
即：函數(shù)關(guān)系式為：S=x（50-x）（0＜x＜50）。
這個例子說明，在用函數(shù)方法解決實際問題時，必須注意到函數(shù)定義域的取值范圍對實際問題的影響。若考慮不到這一點，就體現(xiàn)出學(xué)生思維缺乏嚴(yán)密性。若注意到定義域的變化，就說明學(xué)生的解題思維過程體現(xiàn)出較好思維的嚴(yán)密性。
二、函數(shù)最值與定義域
函數(shù)的最值是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上能否取到最大（小）值的問題。如果不注意定義域，將會導(dǎo)致最值的錯誤。如：
例2：求函數(shù)y=x -2x-3在［-2，5］上的最值。
解：y=x -2x-3=（x -2x+1）-4=（x-1） -4
當(dāng)x=1時，y =-4
初看結(jié)論，本題似乎沒有最大值，只有最小值。產(chǎn)生這種錯誤的根源在于學(xué)生是按照求二次函數(shù)最值的思路，而沒有注意到已知條件發(fā)生變化。這是思維呆板性的一種表現(xiàn)，也說明學(xué)生思維缺乏靈活性。
其實以上結(jié)論只是對二次函數(shù)y=ax +bx+c（a＞0）在R上適用，而在指定的定義域區(qū)間［p，q］上，它的最值應(yīng)分如下情況：
（1）當(dāng)- ＜p時，y=f（x）在［p，q］上單調(diào)遞增函數(shù)f（x） =f（p），f（x） =f（q）；
（2）當(dāng)- ＞q時，y=f（x）在［p，q］上單調(diào)遞減函數(shù)f（x） =f（p），f（x） =f（q）；
（3）當(dāng)p≤- ≤q時，y=f（x）在［p，q］上最值情況是：
f（x） =f（- ）= ，
f（x） =max{f（p），f（q）}。即最大值是f（p），f（q）中最大的一個值。
故本題還要繼續(xù)做下去：
-2≤1≤5
f（-2）=（-2） -2×（-2）-3=-3
f（5）=5 -2×5-3=12
f（x） =max{f（-2），f（5）}=f（5）=12
函數(shù)y=x -2x-3，在［-2，5］上的最小值是-4，最大值是12。
這個例子說明，在函數(shù)定義域受到限制時，若能注意定義域的取值范圍對函數(shù)最值的影響，并在解題過程中加以注意，便體現(xiàn)出學(xué)生思維的靈活性。
三、函數(shù)值域與定義域
函數(shù)的值域是該函數(shù)全體函數(shù)值的集合，當(dāng)定義域和對應(yīng)法則確定，函數(shù)值也隨之而定。因此在求函數(shù)值域時，應(yīng)注意函數(shù)定義域。如：
例3：求函數(shù)y=4x-5+ 的值域。
錯解：令t= ，則2x=t +3，
y=2（t`+3）-5+t=2t +t+1=2（t+ ） + ≥ 。
故所求的函數(shù)值域是［ ，+∞）。
剖析：經(jīng)換元后，應(yīng)有t≥0，而函數(shù)y=2t +t+1在［0，+∞）上是增函數(shù)，
所以當(dāng)t=0時，y =1。
故所求的函數(shù)值域是［1，+∞）。
以上例子說明，變量的允許值范圍是何等重要，若能發(fā)現(xiàn)變量隱含的取值范圍，精細地檢查解題思維的過程，就可以避免以上錯誤結(jié)果的產(chǎn)生。也就是說，學(xué)生若能在解好題目后檢驗已經(jīng)得到的結(jié)果，善于找出和改正自己的錯誤，善于精細地檢查思維過程，便體現(xiàn)出良好的思維批判性。
四、函數(shù)單調(diào)性與定義域
函數(shù)單調(diào)性是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上函數(shù)自變量增加時，函數(shù)值隨著增減的情況，所以討論函數(shù)單調(diào)性必須在給定的定義域區(qū)間上進行。
五、函數(shù)奇偶性與定義域
判斷函數(shù)的奇偶性，應(yīng)先考慮該函數(shù)的定義域區(qū)間是否關(guān)于坐標(biāo)原點呈中心對稱，如果定義域區(qū)間是關(guān)于坐標(biāo)原點不成中心對稱，則函數(shù)就無奇偶性可談。否則要用奇偶性定義加以判斷。
綜上所述，在求解函數(shù)函數(shù)關(guān)系式、最值（值域）、單調(diào)性、奇偶性等問題中，若能精細地檢查思維過程，思辨函數(shù)定義域有無改變（指對定義域為R來說），對解題結(jié)果有無影響，就能提高學(xué)生質(zhì)疑辨析的能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，從而不斷提高學(xué)生的思維能力，進而有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性。
參考文獻：
［1］王岳庭主編.數(shù)學(xué)教師的素質(zhì)與中學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的培養(yǎng)論文集.北京：海洋出版社，1998.
［2］田萬海主編.數(shù)學(xué)教育學(xué).浙江：浙江教育出版社，1993.
【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；函數(shù)的定義域；思維品質(zhì)；培養(yǎng)
函數(shù)的定義域是構(gòu)成函數(shù)的兩大要素之一，函數(shù)的定義域（或變量的允許值范圍）似乎是非常簡單的，然而在解決問題中不加以注意，常常會使人誤入歧途.為此，筆者從函數(shù)的定義域入手，探討了如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).
一、函數(shù)之解析式與定義域
函數(shù)關(guān)系式包括定義域和對應(yīng)法則，所以在求函數(shù)的關(guān)系式時必須要考慮所求函數(shù)關(guān)系式的定義域，否則所求函數(shù)關(guān)系式可能是錯誤的.例如，某單位計劃建筑一矩形圍墻，現(xiàn)有材料可筑墻的總長度為100 m，求矩形的面積S與矩形長x的函數(shù)關(guān)系式.
解 設(shè)矩形的長為x米，則寬為（50-x）米，由題意得：
S=x（50-x）.
故函數(shù)關(guān)系式為：S=x（50-x）.
如果解題到此為止，則本題的函數(shù)關(guān)系式還欠完整，缺少自變量x的范圍.也就是說學(xué)生的解題思路不夠嚴(yán)密.因為當(dāng)自變量x取負(fù)數(shù)或不小于50的數(shù)時，S的值是負(fù)數(shù)，即矩形的面積為負(fù)數(shù)，這與實際問題相矛盾，所以還應(yīng)補上自變量x的范圍：0 即函數(shù)關(guān)系式為：S=x（50-x），（0 這個例子說明，在用函數(shù)方法解決實際問題時，必須要注意到函數(shù)定義域的取值范圍對實際問題的影響.若考慮不到這一點，就體現(xiàn)出學(xué)生思維缺乏嚴(yán)密性.若注意到定義域的變化，就說明學(xué)生的解題思維過程體現(xiàn)出較好的思維嚴(yán)密性.
二、函數(shù)之最值問題與定義域
函數(shù)的最值是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上能否取到最大（?。┲档膯栴}.如果不注意定義域，將會導(dǎo)致最值的錯誤.例如，求函數(shù)y=x2-2x-3在＼[-2，5＼]上的最值.
解 y=x2-2x-3=（x2-2x+1）-4=（x-1）2-4，
當(dāng)x=1時，ymin=-4.
初看結(jié)論，本題似乎沒有最大值，只有最小值.產(chǎn)生這種錯誤的根源在于學(xué)生是按照求二次函數(shù)最值的思路，而沒有注意到已知條件發(fā)生變化.這是思維呆板性的一種表現(xiàn)，也說明學(xué)生思維缺乏靈活性.
其實以上結(jié)論只是對二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a>0）在R上適用，而在指定的定義域區(qū)間[p，q]上，它的最值應(yīng)分如下情況：
（1）當(dāng)-b2a （2）當(dāng)-b2a>q時，y=f（x）在[p，q]上是單調(diào)遞減函數(shù)，f（x）max=f（p），f（x）min=f（q）；
（3）當(dāng)p≤-b2a≤q時，y=f（x）在[p，q]上的最值情況是：
f（x）min=f（-b2a）=4ac-b24a，f（x）max=max{f（p），f（q）}.即最大值是f（p），f（q）中最大的一個值.
故本題還要繼續(xù)做下去：
-2≤1≤5，f（-2）=（-2）2-2×（-2）-3=-3，f（5）=52-2×5-3=12.
f（x）max=max{f（-2），f（5）}=f（5）=12.
函數(shù)y=x2-2x-3在＼[-2，5＼]上的最小值是-4，最大值是12.
這個例子說明，在函數(shù)定義域受到限制時，若能注意定義域的取值范圍對函數(shù)最值的影響，并在解題過程中加以注意，便體現(xiàn)出學(xué)生思維的靈活性.
三、函數(shù)之值域問題與定義域
函數(shù)的值域是該函數(shù)全體函數(shù)值的集合，當(dāng)定義域和對應(yīng)法則確定，函數(shù)值也隨之而定.因此在求函數(shù)值域時，應(yīng)注意函數(shù)定義域.例如，求函數(shù)y=4x-5+2x-3的值域.
錯解 令t=2x-3，則2x=t2+3，
y=2（t2+3）-5+t=2t2+t+1=2t+142+78≥78.
故所求的函數(shù)值域是78，+∞.
剖析 經(jīng)換元后，應(yīng)有t≥0，而函數(shù)y=2t2+t+1在＼[0，+∞）上是增函數(shù)，所以當(dāng)t=0時，ymin=1.
故所求的函數(shù)值域是＼[1，+∞）.
以上例子說明，變量的允許值范圍是何等的重要，若能發(fā)現(xiàn)變量隱含的取值范圍，精細地檢查解題思維的過程，就可以避免以上錯誤結(jié)果的產(chǎn)生.也就是說，學(xué)生若能在解好題目后，檢驗已經(jīng)得到的結(jié)果，善于找出和改正自己的錯誤，善于精細地檢查思維過程，便體現(xiàn)出良好的思維批判性.
綜上所述，在求解函數(shù)函數(shù)關(guān)系式、最值（值域）等問題中，若能精細地檢查思維過程，思辨函數(shù)定義域有無改變（指對定義域為R來說），對解題結(jié)果有無影響，就能提高學(xué)生質(zhì)疑辨析的能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，從而不斷提高學(xué)生的思維能力，進而有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性.
【參考文獻】
[1]王岳庭主編.數(shù)學(xué)教師的素質(zhì)與中學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的培養(yǎng)論文集.北京海洋出版社，1998.
