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關(guān)鍵詞 例題 心理品質(zhì) 思維品質(zhì) “引導(dǎo)性”問題
數(shù)學(xué)例題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，數(shù)學(xué)知識的掌握、數(shù)學(xué)能力的提高、數(shù)學(xué)思想方法的養(yǎng)成、學(xué)生綜合素質(zhì)的培養(yǎng)都需要數(shù)學(xué)例題的教學(xué)去實現(xiàn)，“通過例題教學(xué)，要達到掌握雙基、傳授方法、揭示規(guī)律、啟發(fā)思想、培養(yǎng)能力的目的”。[1]因此，數(shù)學(xué)例題教學(xué)是決定數(shù)學(xué)教學(xué)效果的關(guān)鍵之一。
一、數(shù)學(xué)例題教學(xué)存在的問題
1.對數(shù)學(xué)例題教學(xué)功能沒有全面的認識
《談新課標(biāo)下高一數(shù)學(xué)差生的原因及培養(yǎng)策略》一文，作者對某地高一年級學(xué)生做了調(diào)查，分析發(fā)現(xiàn)：“70%的學(xué)生數(shù)學(xué)成績差，不理想，學(xué)習(xí)困難吃力；20%學(xué)生成績屬于中等水平；10%的學(xué)生數(shù)學(xué)成績較好?！盵2]我們不妨把這70%的數(shù)學(xué)成績差的學(xué)生稱為“學(xué)差生”，“學(xué)差生”的比例很高，這不禁讓人深思，新課標(biāo)下的數(shù)學(xué)教育存在哪些問題？數(shù)學(xué)“學(xué)差生”的產(chǎn)生，有智力的與非智力的因素。通過對有關(guān)研究數(shù)學(xué)“學(xué)差生”文獻資料的分析，我們可以發(fā)現(xiàn)，為解決學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難，老師們想了很多方法和措施，這些方法和措施的實施，共同的作用就是加大了學(xué)生的學(xué)習(xí)強度。比如有研究者認為：“數(shù)學(xué)課教師要在新課程理念指導(dǎo)下科學(xué)設(shè)置例題，精講多練，逐步培養(yǎng)學(xué)生的知識遷移能力”。[3]而從改進例題教學(xué)的角度去解決數(shù)學(xué)“學(xué)差生”問題的研究不多。
實際上，數(shù)學(xué)例題教學(xué)的過程，既是“掌握雙基、傳授方法、揭示規(guī)律、啟發(fā)思想、培養(yǎng)能力”的過程，又是學(xué)生“思維品質(zhì)、心理品質(zhì)”的培養(yǎng)過程。解決數(shù)學(xué)問題的過程中，不僅需要良好的“思維能力”，也需要“不怕困難、勇于探索”的精神，需要“沉著冷靜、細致周密”的處事風(fēng)格等“心理品質(zhì)”。也就是說，例題教學(xué)除了具有“掌握雙基、傳授方法、揭示規(guī)律、啟發(fā)思想、培養(yǎng)能力”的功能之外，還應(yīng)該具有培養(yǎng)學(xué)生“心理品質(zhì)”的功能。這可以說是過去我們對數(shù)學(xué)教育研究的一個空白，需要教師去探索、去發(fā)掘。
2.數(shù)學(xué)例題教學(xué)方法認識偏差
在實際教學(xué)工作中，對于數(shù)學(xué)例題的教學(xué)，很多教師教學(xué)目的單純，就是以解決例題所涉及的問題為目的。因而也就不會花時間和精力去分析例題、研究例題對于學(xué)生的其他教育功能?！安簧俳處熣毡拘疲淇菰锓ξ蹲寣W(xué)生大倒胃口，失去學(xué)習(xí)的興趣和熱情?！盵4]我們常?？吹?，在例題教學(xué)中，有很多老師要求學(xué)生記住一類問題的解法，數(shù)學(xué)題目解法類型化。大多數(shù)學(xué)生則只是模仿老師的解題思路與方法，例題教學(xué)對于他們來說就是一種“模仿”學(xué)習(xí)，提高學(xué)習(xí)效果、實現(xiàn)學(xué)習(xí)目的的方法就是做大量的練習(xí)，學(xué)習(xí)方法簡單地成為了“題海戰(zhàn)術(shù)”，因而造成“一聽就懂，一做就錯”[5]的學(xué)習(xí)怪圈。學(xué)生的學(xué)習(xí)，都要依賴于多講、多練、多輔導(dǎo)，節(jié)假日、雙休日要補課就不足為奇了。
波利亞認為，中學(xué)數(shù)學(xué)教育的根本目的是讓學(xué)生學(xué)會思考，數(shù)學(xué)例題教學(xué)也是這樣。實際上，問題是千變?nèi)f化的，只有培養(yǎng)學(xué)生有良好的心理品質(zhì)，有較強的思維能力，才能使學(xué)生具備靈活解決問題的能力?！叭说恼_思想是從哪里來的？是從天上掉下來的嗎？不是。是自己頭腦里固有的嗎？不是。人的正確思想，只能從社會實踐中來，只能從生產(chǎn)斗爭、階級斗爭和科學(xué)實驗這三項實踐中來”。任何數(shù)學(xué)例題的解決都有其知識經(jīng)驗的、思想方法的根源。因此，在數(shù)學(xué)例題教學(xué)方法上，不是老師教學(xué)生解題，應(yīng)該是老師組織、指導(dǎo)學(xué)生分析問題，師生一道探究問題的解決策略，尋找例題的解決方法。
3.數(shù)學(xué)例題教學(xué)要求認識偏差
“懂了嗎？”我們常常聽到老師上課時會向?qū)W生發(fā)出這樣的提問，尤其低年級更是如此。對于數(shù)學(xué)例題的教學(xué)，很多老師和學(xué)生也是把“聽懂了”作為例題教學(xué)任務(wù)是否完成、教學(xué)目的是否實現(xiàn)的標(biāo)志?！皩}學(xué)習(xí)的重要性，學(xué)生必須明確一點，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)沒有‘差不多’已經(jīng)懂了的概念，而只有懂與不懂兩個層次?！盵5]尤其是“學(xué)差生”，他們往往把“聽懂了”作為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最高境界，“聽懂了”他就滿足了。什么叫“聽懂了？”“懂”即“了解”、“明白”之意。對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來說，“懂了”不是數(shù)學(xué)例題教學(xué)的終極目的，“懂了”不應(yīng)該是我們最終要達到的數(shù)學(xué)例題教學(xué)效果。從思維水平上分析，“了解”、“明白”只是學(xué)生對教師例題解法的認同與接受。而不是在教學(xué)互動中掌握了解題的思想方法，形成了自己的分析問題的思維結(jié)構(gòu)。對于例題教學(xué)的目的要求，應(yīng)該達到的教學(xué)效果，目前沒有確定的標(biāo)準，但數(shù)學(xué)家波利亞的“怎樣解題”表為我們指明了方向。根據(jù)波利亞的“怎樣解題”表，學(xué)生的數(shù)學(xué)例題學(xué)習(xí)就不止于“懂與不懂”兩個層次了。
二、數(shù)學(xué)例題教學(xué)中心理品質(zhì)的養(yǎng)成
許多學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)失敗的主要原因在于其心理品質(zhì)，許多學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)良好也可歸功于其良好的心理品質(zhì)。學(xué)生的心理品質(zhì)對能否有效解題影響很大?！皵?shù)學(xué)差生的行為受到來自自我（self）的影響。他們對自我的認識是消極的、偏執(zhí)的、頑固的，對未來的自我是不懷希望的”[6]。
以“意志”為例，很多數(shù)學(xué)“學(xué)差生”不是因為智力低下，而是意志品質(zhì)薄弱，自制力差，缺乏毅力和恒心，缺乏戰(zhàn)勝困難的勇氣和鍥而不舍的精神，不能長期堅持勤奮刻苦的學(xué)習(xí)狀態(tài)，一遇到困難就裹足不前、垂頭喪氣，甚至自暴自棄。由于各種因素，我國當(dāng)代青少年特別是獨生子女，意志品質(zhì)薄弱者占有很大的比例。愛因斯坦告誡人們：“優(yōu)秀的性格和鋼鐵般的意志，比智慧和博學(xué)更為重要”。“對于青少年積極心理品質(zhì)發(fā)展而言，……如果我們能在學(xué)校心理健康課堂或?qū)W科教育課堂以及其他活動中對于適合其年齡階段的積極心理品質(zhì)進行全方位培養(yǎng)，學(xué)生積極心理品質(zhì)的發(fā)展就能獲得最有效的促進?！盵7]
對于不同的學(xué)生，他的心理品質(zhì)在他的解題過程中都能體現(xiàn)出來。有的沉著冷靜、有的浮燥冒進、有的粗心大意、有的細致周密、有的自信勇敢、有的消沉懦弱等。因此，在例題教學(xué)中，教師可以通過學(xué)生的解題嘗試，發(fā)現(xiàn)其心理品質(zhì)方面存在的問題，要向?qū)W生指正，說明這些心理品質(zhì)欠缺對其學(xué)習(xí)、成長的危害，并給予正確的導(dǎo)向。從而幫助學(xué)生改善其不良心理品質(zhì)，發(fā)展、培養(yǎng)良好的心理品質(zhì)。應(yīng)該讓學(xué)生認識到，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅是獲得數(shù)學(xué)知識、發(fā)展數(shù)學(xué)能力的過程，而且是檢驗人的心理品質(zhì)，促進心理發(fā)展的過程，作為學(xué)生，要在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，有意識、有目的地健全自己的心理品質(zhì)。
三、數(shù)學(xué)例題教學(xué)中思維品質(zhì)的養(yǎng)成
關(guān)于數(shù)學(xué)思維的積極性活動，人們共同的看法是它決定于思維品質(zhì)?！皵?shù)學(xué)思維品質(zhì)”[9]實質(zhì)就是人的數(shù)學(xué)思維的個性特征，它體現(xiàn)了每個個體思維水平、智力與能力的差異，是衡量數(shù)學(xué)思維優(yōu)劣、判斷數(shù)學(xué)能力高低的主要指標(biāo)。它包括思維的目的性、思維的深刻性、思維的靈活性、思維的批判性、思維的獨創(chuàng)性、思維的條理性、思維的嚴謹性和思維的廣闊性等。學(xué)生思維能力的高低主要就體現(xiàn)在思維品質(zhì)的差異上。
多年來，國內(nèi)外許多先進的教學(xué)方法與經(jīng)驗表明，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)是發(fā)展其數(shù)學(xué)能力的突破點和有效的途徑。所以，在數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)上，往往要抓住數(shù)學(xué)思維品質(zhì)這個突破口，而數(shù)學(xué)例題教學(xué)則是學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)養(yǎng)成的主要平臺。在例題教學(xué)時，重視對分析問題、解決問題過程中的思維品質(zhì)的培養(yǎng)，讓學(xué)生在體驗思維品質(zhì)的過程中養(yǎng)成良好的思維品質(zhì)，既是當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)的短板，更是提高數(shù)學(xué)教學(xué)效果的突破口。
四、數(shù)學(xué)例題教學(xué)分析舉例
一般情況下，這個例題的教學(xué)就結(jié)束了。但如果是這樣，作業(yè)布置下去，就會發(fā)現(xiàn)，會有絕大多數(shù)學(xué)生采用第一種解法。而這個例題是在學(xué)習(xí)“三角函數(shù)的基本關(guān)系”時為鞏固新知識、運用新知識的一道例題。學(xué)生為什么會選擇解法一，原因很簡單，就是解法一相對容易，解法二相對較難。因此，教師接下來還應(yīng)該與學(xué)生一起比較兩種解法，既肯定他們沒有忘記舊知識，得出解法一，又強調(diào)學(xué)習(xí)上為獲得新知識、培養(yǎng)新能力，要不怕困難，要有迎難而上的進取精神。一開始老師的三個提問，用到的都是第一人稱“我們”，老師把自己與學(xué)生擺在同樣的角色位置，學(xué)生和老師都是探索的主體，這樣有助于學(xué)生主動性的發(fā)揮。三個問題都是引導(dǎo)性問題，引導(dǎo)學(xué)生思考的方向、目標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生怎樣思考與分析研究，問題（1）是常見的，多數(shù)學(xué)生也能這樣思考；問題（2）的提出，啟發(fā)了學(xué)生的思維，使其思維指向廣闊的知識經(jīng)驗；問題（3）則使學(xué)生思維有明確的目的。三個問題聯(lián)結(jié)起來，形成解決問題的系統(tǒng)思路，對于培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性和系統(tǒng)性，是必不可少的。
例2 求函數(shù)y=的最大值和最小值。
如果沒有相關(guān)的經(jīng)驗，或沒有得到思維品質(zhì)的培養(yǎng)，學(xué)生一開始看到此題，真的一頭霧水，不知所措。因此，教師應(yīng)該指導(dǎo)學(xué)生觀察分析：首先這是求函數(shù)最值的問題，不同類型函數(shù)的最值問題有不同的解決方法，師生共同回顧有關(guān)函數(shù)的最值問題，這就使得學(xué)生的思維得到廣闊的展開。其次，可以從本題函數(shù)的內(nèi)容、結(jié)構(gòu)、變形上設(shè)計“引導(dǎo)性”問題，引導(dǎo)學(xué)生進行分析：從內(nèi)容上，有正弦、余弦，要討論函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)該考慮弦化切；從函數(shù)式的結(jié)構(gòu)形式上，可以類比兩點連線的斜率公式；從函數(shù)變形上，可以考慮對函數(shù)式作適當(dāng)變形，從而轉(zhuǎn)化成asinx+bcosx的形式，這就是大家熟悉的了。老師在教學(xué)過程中，設(shè)計的“引導(dǎo)性”問題，要點到為止，啟而不發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度去觀察、分析問題，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性等思維品質(zhì)。
參考文獻
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關(guān)鍵詞：
例題是數(shù)學(xué)教學(xué)過程中不可缺少的內(nèi)容，是向?qū)W生展示應(yīng)用基礎(chǔ)知識解決問題的窗口，是向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想方法，傳播解題技巧、技能的途徑。學(xué)生對例題的理解掌握程度的優(yōu)劣，直接影響教學(xué)效果和學(xué)生的解題能力 。因此，研究和改進數(shù)學(xué)例題的教學(xué)，是今天數(shù)學(xué)教改的重要課題。
那么如何設(shè)計例題教學(xué)，使它們真正發(fā)揮例題應(yīng)有的教學(xué)價值昵？ 現(xiàn)結(jié)合我在教學(xué)實踐過程中總結(jié)的一些點點滴滴，談一點看法。
一、精選例題，示范講解，充分發(fā)揮例題的作用
1．以書為本挖掘潛力
對于課本上的例題、習(xí)題要認真研究、挖掘和改造，從“簡單”中求方法，從“老題""中求新意，才能給學(xué)生很多啟發(fā)。特別是選題和處理題時，要注意研究和選擇恰當(dāng)?shù)膯l(fā)點，抓住問題的關(guān)鍵、言簡意賅、一語中的、力求啟而得發(fā)。
第一，要一題多解，用多種知識和方法處理同一題。使例題涉及的知識和方法延伸到數(shù)學(xué)的各個分支，力求溝通它們之間的聯(lián)系。
第二，改變例題的條件和結(jié)論，一步步地向縱深遞進，從而得到更深更多的方法和結(jié)論。
教材中的例題、習(xí)題甚至一個問題情境往往是中考高考試題的“母題”。
如：(2007年資陽)21．(本小題滿分8分)
(1)探究an是否為8的倍數(shù)，并用文字語言表述你所獲得的結(jié)論；
(2)若一個數(shù)的算術(shù)平方根是一個自然數(shù)，則稱這個數(shù)是“完全平方數(shù)”．試找出al，a2，…，an，…這一列數(shù)中從小到大排列的前4個完全平方數(shù)，并指出當(dāng)n滿足什么條件時，an為完全平方數(shù)(不必說明理由)．
這道題就是以華師版八年級上一道復(fù)習(xí)題，說明兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù)，為母本加以編制而成。
2．以學(xué)生身邊生活與實際選材
初中數(shù)學(xué)新課標(biāo)明確要求學(xué)生能“初步運用數(shù)學(xué)思想理解和處理現(xiàn)實生活中的簡單問題”，而且將“發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，力求對現(xiàn)實世界中蘊涵的一些數(shù)學(xué)模式進行思考和作出判斷""作為數(shù)學(xué)課程的一個重要目標(biāo)。我們要注重聯(lián)系學(xué)生身邊生活與實際，有效地培養(yǎng)學(xué)生運用所學(xué)的知識解決實際生活、生產(chǎn)中的問題的能力，讓學(xué)生感到所學(xué)的知識并非莫不可測，在現(xiàn)實生活中處處有它的身影。
3．適度選擇題型新穎的綜合題
引入一批題型新穎的綜合題是必要的，其目的是注重培養(yǎng)學(xué)生對知識的遷移能力，為學(xué)生后繼學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)，特別是與高中知識密切銜接的有關(guān)題型，如不等式、對數(shù)、數(shù)列等有關(guān)命題深受中考命題者的青睞。
二．?dāng)?shù)學(xué)例題教學(xué)要注重以學(xué)生為主體，注重例題教學(xué)的開放性
課程標(biāo)準明確指出：數(shù)學(xué)教學(xué)要重視教學(xué)開放性，應(yīng)采取“開放性”的教學(xué)策略，為學(xué)生提供更多的機會和時間，讓學(xué)生提問和質(zhì)疑、嘗試和探究、討論和交流、歸納和總結(jié)等，促使學(xué)生的思維空間充分開放。近年來，初中畢業(yè)生統(tǒng)一學(xué)業(yè)考試中，開放性問題也很多，于是，開放題就成了中學(xué)數(shù)學(xué)教師普遍關(guān)注的一個問題。要適應(yīng)教育改革的需要，我們的課堂例題教學(xué)就要進行開放式的教學(xué)，真正做到“題目開放，思維開放，過程開放”。
例如：“三角形中位線”教學(xué)，首先讓學(xué)生獨立自學(xué)課本，接著讓學(xué)生思考下面的問題，①什么是三角形的中位線?②怎樣畫出三角形的中位線?③三角形的中位線與中線有什么區(qū)別?④請學(xué)生動手測量有關(guān)角的大小和中位線及第三邊的長度，三角形的中位線與第三邊有什么關(guān)系?⑤試用簡潔的文字歸納你的猜想。最后要求學(xué)生證明自己的猜想，并能應(yīng)用到簡單的和證明中。然后再設(shè)計以下幾個例題，加以拓展。
例l：已知如圖E、F、G、H分別是四邊形ABCD各邊中點，
求證；四邊形EFGH是平行四邊形。
變式、(1)順次連結(jié)矩形各邊中點，形成的四邊形是 。
(2)順次連結(jié)菱形各邊中點，形成的四邊形是
。
(3)順次連結(jié)正方形各邊中點，形成的四邊形是 。
(4)順次連結(jié)等腰梯形各邊中點，形成的四邊形是 。
教師通過引導(dǎo)學(xué)生置身于問題情境中，揭示知識背景，從數(shù)學(xué)家的廢紙簍里尋找探究痕跡，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)家們對一個新問題是如何去研究創(chuàng)造的，對數(shù)學(xué)規(guī)律作出充分觀察、思考、猜想、交流，使規(guī)律的出現(xiàn)適合學(xué)生自己的數(shù)學(xué)需求。
三．?dāng)?shù)學(xué)例題教學(xué)注重知識的整合
課本例題的安排，主要是強化和應(yīng)用當(dāng)前所學(xué)知識，知識點方面有時顯得單調(diào)。為了訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生運用知識解決綜合問題的能力，對課本例題的課堂中進行拓展變式訓(xùn)練是十分必要和有效的，在拓展變式訓(xùn)練中，學(xué)生可以放開手腳自己去想象、琢磨，從而有機會從多角度，多側(cè)面，多層次，多結(jié)論等方面去認識知識，從而實現(xiàn)了知識的整合。同時，學(xué)生的創(chuàng)造性思維也會得到發(fā)展，思維活動的質(zhì)量也會得到提高，實現(xiàn)了學(xué)生思維的拓展與延伸。
通過拓展訓(xùn)練、實現(xiàn)知識的整合，可使學(xué)生學(xué)會掌握事物的本質(zhì)特征的方法，使他們懂得怎樣從事物的千變?nèi)f化的復(fù)雜現(xiàn)象中去抓住本質(zhì)，達到舉一反三，觸類旁通，從而培養(yǎng)思維的深刻性和靈活性。
關(guān)鍵詞數(shù)學(xué) 例題 教學(xué)
例題教學(xué)是初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要環(huán)節(jié)。不但為學(xué)生提供解決數(shù)學(xué)問題的范例，揭示數(shù)學(xué)方法，規(guī)范思考過程，而且為其數(shù)學(xué)方法體系的構(gòu)建提供了基石。那么，如何進行初中數(shù)學(xué)的例題教學(xué)呢？
一、初中數(shù)學(xué)例題的作用和地位
例題在教材中所占的地位是由它的功能與作用所決定的.數(shù)學(xué)教材是由數(shù)學(xué)知識、例題、習(xí)題三個有機部分所組成，例題在教材中具有替代的結(jié)構(gòu)性和作用。
例題的作用，主要體現(xiàn)在以下兩個方面：
1、從結(jié)構(gòu)上看，例題是把知識、技能、思想和方法聯(lián)系起來的一條紐帶。
知識的價值，技能的操作、思想與方法的作用都是通過例題來體現(xiàn)的。例題的講解與示范是教學(xué)中傳授知識，培養(yǎng)技能必不可少的一個環(huán)節(jié)。學(xué)習(xí)知識的最終目的是要轉(zhuǎn)化為能力，例題作為學(xué)以致用的重要環(huán)節(jié)，在教學(xué)過程中擔(dān)負著把知識轉(zhuǎn)化為能力的重要使命，這是它的首要作用。
2、從功能上看，教學(xué)例題具有知識功能、教育功能、發(fā)展功能與示范功能。
在教學(xué)過程中，主要是通過例題和習(xí)題，使學(xué)生獲得系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識，形成必要的數(shù)學(xué)技能技巧。例題的思路分析、解題方法與書寫格式幫學(xué)生掌握分析的方法，了解書寫格式與規(guī)范，熟悉適用的解題方法，使學(xué)生在思想上和行為上都受到數(shù)學(xué)熏陶，對學(xué)生的思維及解題行為起著潛移默化的作用，啟迪學(xué)生掌握解各類數(shù)學(xué)問題的鑰匙，通過數(shù)學(xué)例題，還可以向?qū)W生進行辯證唯物主義世界觀的教育。
二、初中數(shù)學(xué)例題教學(xué)的策略
1、恰當(dāng)選題，幫助學(xué)生減負增效
例題選擇恰當(dāng)與否，直接關(guān)系著學(xué)生對知識的理解和掌握，切不可盲目選擇例題進行“滿堂灌”。例題的選擇不能過多、過雜、過難，必須要有一定的基礎(chǔ)性和代表性，遵循從易到難。恰當(dāng)選擇例題，不能一味追求解題的難度和技巧，要選擇典型的，能體現(xiàn)現(xiàn)階段教學(xué)目標(biāo)，能蘊含數(shù)學(xué)基本思想和方法的例題，必要時可以根據(jù)學(xué)生的實際情況更換課本例題或補充課外例題。另外，例題的精選能在很大程度上避免“題海戰(zhàn)”，使學(xué)生減負增效，提高教學(xué)的有效性。一般說，填空題重概念辨析，選擇題重方法，解答題重思維，證明題重演繹，綜合題重邏輯。教師應(yīng)根據(jù)不同的教學(xué)目的而選擇不同的題型，使學(xué)生從不同的途徑和角度去加深理解并鞏固知識。
2、例題教學(xué)需懂得逐層遞進。
初中數(shù)學(xué)例題教學(xué)，首先是要讓學(xué)生能夠聽懂教師教學(xué)所講的內(nèi)容，只有當(dāng)學(xué)生聽懂之后，學(xué)生才能夠接受知識進行消化，也就是所謂的逐層遞進。想要做到這一點，教師需要從兩個方面入手：其一，將例題吃透，也就是抓住例題本質(zhì)，懂得將前后知識點相互的結(jié)合在一起，對于難易程度也能夠了熟于心；其二，將學(xué)生吃透，掌握學(xué)生知識水平與理解能力，能夠針對學(xué)生不同的年齡段而給予不同的解題技巧教學(xué)。如果部分例題難度較大，學(xué)生很難接受，就需要教師進行鋪路搭橋，將難度降低到適合學(xué)生的高度，也就是要讓學(xué)生懂得這一題就像樹上的桃子，伸伸手不一定能夠碰得到，但是如果自己跳一下，就能夠?qū)⑻易诱聛怼?/p>
3、講解到位，全面呈現(xiàn)發(fā)現(xiàn)過程
數(shù)學(xué)教學(xué)不僅僅要讓學(xué)生看到數(shù)學(xué)結(jié)果，最重要的是讓學(xué)生看到數(shù)學(xué)結(jié)果是如何獲得的。學(xué)習(xí)解題最好的途徑是學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)，倘若教師沒有全面呈現(xiàn)解法的發(fā)現(xiàn)過程，學(xué)生通常只知其然，而不知其所以然，解題時只能機械地模仿?！笆谥贼~不如授之以漁”，例題講解要重視思維過程的指導(dǎo)，要全面呈現(xiàn)發(fā)現(xiàn)過程，暴露如何想，揭示怎樣做。例如解題的關(guān)鍵條件是什么？解法是如何想到的？思路是怎樣打通的？如果出現(xiàn)解題困難，是否需要重新審視條件和結(jié)論，該引發(fā)什么新的思考，思維上的差距何在，等等。某些特殊情況下，教師還應(yīng)“稚化”自己的思維，有意識地退回到與學(xué)生相仿的思維態(tài)勢，或者假裝遭受挫折，一籌莫展，讓學(xué)生獨立分析原因再繼續(xù)探索等等。
4、拓展例題的知識范圍，觸類旁通，舉一反三
有的例題僅僅針對一個知識點，解決一個問題，但在實際教學(xué)時有時可能會根據(jù)實際情況，需要“借題發(fā)揮”，對例題的知識范圍進行拓展。例如在學(xué)習(xí)方程、不等式和函數(shù)知識，如何理解三者之間的關(guān)系，可以結(jié)合具體的例題，配合圖像讓學(xué)生理解函數(shù)的對應(yīng)的本質(zhì)，函數(shù)是整個過程中的對應(yīng)，不等式是某個范圍內(nèi)的對應(yīng)，而方程式是某個瞬間的對應(yīng)，加深學(xué)生對三者之間的關(guān)系的理解。
5、錯題辨析、改正
在教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)講解題目的正確解法有時達不到教學(xué)目的，因為學(xué)生不知道自己為什么錯，錯在哪里，無法對癥下藥。錯誤是正確的先導(dǎo)，正如哲學(xué)家波普爾所說：“錯誤中往往孕育著比正確更豐富的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造因素”。課堂例題教學(xué)時，根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)過程中會感到疑難或者易發(fā)生認知偏差的問題，設(shè)置錯題辨析、改正，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯解及產(chǎn)生錯解的原因，從錯題中體會到知識的關(guān)鍵點和易錯點，辨析出知識的異同，加深對知識的理解，讓學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”和“再創(chuàng)造”的過程，找到正確的解法和結(jié)論，有效地知錯、改錯、防錯
一、在解題的方法規(guī)律處反思
“例題千萬道，解后拋九霄”難以達到提高解題能力、發(fā)展思維的目的。善于作解題后的反思、方法的歸類、規(guī)律的小結(jié)和技巧的揣摩，再進一步作一題多變，一題多問，一題多解，挖掘例題的深度和廣度，擴大例題的輻射面，無疑對能力的提高和思維的發(fā)展是大有裨益的。
例如：（原例題)函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值記為．試寫出的函數(shù)表達式．
變式1 （1）求函數(shù)在的最大值和最小值．
（2）求函數(shù)在的最大值和最小值．
（3）求函數(shù)在的最大值和最小值．
變式2 已知函數(shù)在時有最大值2，求的值．
變式3 已知為實數(shù)，函數(shù)．求的最小值．
通過例題的層層變式，學(xué)生對二次函數(shù)的最值問題的四種類型的認識又深了一步，有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生從具體到抽象地分析問題、解決問題的能力.
又如 求經(jīng)過兩圓與的交點，且圓心在直線上的圓的方程．
此題可先求兩圓的交點再求解，也可設(shè)圓系方程求解。
從而使學(xué)生通過比較方法的優(yōu)越性而有選擇性的選擇解題方法．通過例題解法多變的教學(xué)則有利于幫助學(xué)生打破思維定勢；有利于培養(yǎng)思維的變通性和靈活性。
二，在學(xué)生易錯處反思
學(xué)生的知識背景、思維方式、情感體驗往往和成人不同，而其表達方式可能又不準確，這就難免有“錯”。例題教學(xué)若能從此切入，進行解后反思，則往往能找到“病根”，進而對癥下藥，常能收到事半功倍的效果!
例如 (1)求函數(shù)的最值.
(2)求函數(shù)的值域.
解此兩題學(xué)生基本上直接套用均值不等式.出現(xiàn)這些錯誤的原因有哪些? 怎樣克服這些錯誤呢? 同學(xué)們各抒己見，針對“病因”開出了有效的“方子”。實踐證明，這樣的例題教學(xué)是成功的，學(xué)生在計算的準確率、計算的速度兩個方面都有極大的提高。
三、在情感體驗處反思
一、要突出本質(zhì)屬性――“概念型”例題
在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，讓學(xué)生理解基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)概念是培養(yǎng)學(xué)生具備獨立思考問題能力并進行推理證明能力的基礎(chǔ)依據(jù)。教學(xué)中多是通過列舉出典型例題然后進行科學(xué)分析從而總結(jié)出抽象的概念，通過典型例子把握具體內(nèi)容，理解數(shù)學(xué)概念。
例如，初一學(xué)生初次接觸正負數(shù)的概念，教學(xué)時我們可先向?qū)W生提供一些相反意義的例題（如“氣溫的零上、零下”，“倉庫的進出”，“存款、貸款”，“向東、向西”等），然后抓住這些實例的本質(zhì)特征真正引出正負數(shù)的概念，這樣學(xué)生就從一個感性認識自然地過渡到理性認識，使他們既容易接受又容易理解了。因此，對于建立概念的例題，我們必須抓住例子的實質(zhì)特征，突出概念的本質(zhì)，講清概念的形式。
二、緊扣定理、法則――“基礎(chǔ)型”例題
在基礎(chǔ)知識的教學(xué)中，我們教師在講清基礎(chǔ)知識的同時，必須設(shè)計若干鞏固基礎(chǔ)知識的例題（如判斷題、填空題、口答題），對例題分析引導(dǎo)時，要緊扣定義、定理、法則、公式，并善于指出學(xué)生容易犯錯誤的地方，再通過一定量的練習(xí)、作業(yè)，使學(xué)生最終自行掌握基礎(chǔ)知識。
例如，在乘方的教學(xué)過程中選擇例題：請分別指出（-2）2，-22的意義并計算；在冪的運算的教學(xué)過程中選擇如下例題：請辨析下列各式：①a2+a2=a4；②a4÷a2=a4÷2=a2；③-a3?（-a）2=（-a）3+2=-a5；④（-a）0÷a3=0；⑤（a-2）3?a=a-2+3+1=a2。這樣的例題教學(xué)鞏固所學(xué)的基礎(chǔ)知識，教師通過引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)示范例題，掌握數(shù)學(xué)定義、定理、法則以及公式，學(xué)生在計算的準確率、計算的速度兩個方面都可以有所提高。
三、“規(guī)律型”例題，要注意歸納綜合
為了使學(xué)生在解題時有較敏銳的觀察能力和較豐富的聯(lián)想能力，舉一反三，觸類旁通，提高解題能力，規(guī)律型例題是培養(yǎng)學(xué)生能力的一座橋梁。我們在規(guī)律型例題教學(xué)中，必須善于采用比較、分析、歸納、綜合的方法，揭示其解題規(guī)律，這就等于交給了學(xué)生解決問題的鑰匙，從而使學(xué)生能夠自己去解決新問題。
例如：（原例題）已知等腰三角形的腰長是4，底長為6，求周長。（我們可以將此例題進行一題多變）
變式1 已知等腰三角形一腰長為4，周長為14，求底邊長。（這是考查逆向思維能力）
變式2 已知等腰三角形一邊長為4；另一邊長為6，求周長。（前兩題相比，需要改變思維策略，進行分類討論）
變式3 已知等腰三角形的一邊長為3，另一邊長為6，求周長。（顯然“3只能為底”否則與三角形兩邊之和大于第三邊相矛盾，這有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴密性）
變式4 已知等腰三角形的腰長為x，求底邊長y的取值范圍。
變式5 已知等腰三角形的腰長為x，底邊長為y，周長是14。請先寫出二者的函數(shù)關(guān)系式，再在平面直角坐標(biāo)內(nèi)畫出二者的圖象。（與前面相比，要求又提高了，特別是對條件0
四、“綜合型”例題，要尋求知識聯(lián)系
綜合型題是培養(yǎng)學(xué)生運用綜合知識靈活解題的能力，也是考試中最為常見的類型，因而，綜合型例題教學(xué)環(huán)節(jié)十分必要。但由于綜合題知識往往覆蓋面廣，聯(lián)系較復(fù)雜，因此，教師需要選好題型并在分析例題的過程中將綜合題分解成幾個小部分，與學(xué)生詳細分析涉及的基本知識。
例如：某學(xué)校計劃在總費用2300元的限額內(nèi)，租用汽車送234名學(xué)生和6名教師集體外出活動，每輛汽車上至少要有1名教師。現(xiàn)有甲、乙兩種大客車，它們的載客量是45人每輛和30人每輛，租金是400元每輛和280元每輛。
（1）共需租多少輛汽車？
（2）給出最節(jié)省費用的租車方案。
本題是經(jīng)濟類討論問題，可讓學(xué)生相互討論，經(jīng)過討論發(fā)現(xiàn)本題是利用方程、函數(shù)、不等式知識互相滲透來解決這個問題。
當(dāng)然，上述情況與學(xué)生的知識水平、理解能力等都有一定的關(guān)系。其中，例題教學(xué)這一塊值得反思，例題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重頭戲，一方面數(shù)學(xué)例題占了題目數(shù)量的大多數(shù)，另一方面講解數(shù)學(xué)例題占用了課堂時間的絕大多數(shù)。數(shù)學(xué)例題教學(xué)是知識由產(chǎn)生到應(yīng)用的關(guān)鍵一步，把例題教好是把數(shù)學(xué)教好的重要環(huán)節(jié)。如果學(xué)生在學(xué)習(xí)的時候只是停留在會解題，而不思考的狀態(tài)，出現(xiàn)知識脫節(jié)的情況也就不奇怪了。
一、通過例題的變式進行反思
很多老師為了中考使用“題?！睉?zhàn)術(shù)，雖然做的題目很多，但卻難以達到提高解題能力和發(fā)展思維的目的。就像磨坊中拉磨的毛驢，雖然每天辛勤勞作，卻總在原地打轉(zhuǎn)。教師應(yīng)該充分挖掘例題資源，從廣度和深度進行拓展，采用一題多變的形式，提高學(xué)生解題的能力和促進學(xué)生思考的發(fā)展。例題的變式有利于學(xué)生從特殊到一般，有條理地分析問題、解決問題。通過例題變式的教學(xué)幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)解題思維模式，根據(jù)具體題目打破固定思維模式有利于學(xué)生培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的一般性和靈活性。
二、抓住學(xué)生易錯知識進行反思
初中學(xué)生正處青春期，思維方式還不成熟。知識積累、思維方式、情感體驗往往和作為教師的成年人不同，因此，他們的表達方式可能與教師所理解的有所差異。數(shù)學(xué)課堂中的例題教學(xué)若能從此切入，進行解后反思，往往能找到學(xué)生出錯的“病根”，然后對癥下藥，達到藥到病除的效果。
在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，對于課堂出現(xiàn)的問題，教師應(yīng)盡量現(xiàn)場解決，幫助學(xué)生在出現(xiàn)錯誤時就能及時認識并糾正錯誤，這對于學(xué)生今后杜絕此類錯誤是極其有利的。同時在課堂教學(xué)結(jié)束后，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的實際情況，積極進行課后小結(jié)，特別是要總結(jié)學(xué)生的典型錯誤，對于學(xué)生的課堂表現(xiàn)進行點評，反復(fù)進行教學(xué)思考，并且在今后的教學(xué)中注重引導(dǎo)學(xué)生進行復(fù)習(xí)與再次總結(jié)，以保證學(xué)生在不斷的自我總結(jié)中形成較強的數(shù)學(xué)解題思路與能力。
三、在情感培養(yǎng)之處反思
數(shù)學(xué)例題的解題過程并非只是一個純粹數(shù)學(xué)知識的運用、數(shù)學(xué)技能訓(xùn)練的過程，而是一個伴隨著學(xué)生整個內(nèi)心情感世界參與的綜合過程。在此處引導(dǎo)學(xué)生進行解后反思，有利于激勵學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，點燃學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，變“要我學(xué)”為“我要學(xué)”；還有利于錘煉學(xué)生持之以恒的學(xué)習(xí)毅力和面對困難時頑強的意志品格。在此過程中，學(xué)生自主探究與團隊合作的能力都有提高。
例題：A，B兩家公司都準備面向社會招聘人才，兩家公司條件基本相同，只有工資待遇有如下的差異：A公司年薪10000元，一年后每年加工齡工資400元；B公司半年薪5000元，半年后每半年加工齡工資100元，求A、B兩家公司第n年的年薪分別是多少？從經(jīng)濟角度考慮，選擇哪家公司更有利？然后圍繞問題設(shè)計以下幾個問題讓學(xué)生思考并分組討論。
1.要計算兩公司第n年的工資，首先要從哪兒開始？
2.兩公司的工資又應(yīng)如何分別計算？相等關(guān)系是什么？
此舉通過設(shè)計有梯度的問題，層層深入，使學(xué)生始終處于主動狀態(tài)。問題提出后，學(xué)生經(jīng)過思考，展開討論，A公司的工資大部分學(xué)生都能得到正確答案，而對于B公司的工資有的學(xué)生認為“整年計算較簡單”，有的則認為“分為前半年和后半年分別計算不容易出錯”等等。根據(jù)不同學(xué)生所得出的不同答案，教師直接給予肯定或?qū)W生發(fā)表個人意見，這樣師生之間、學(xué)生之間都融于交流互動的氛圍中。而后，教師利用表格讓學(xué)生填寫并對式子進行講解，其他同學(xué)對他們的講解進行討論，此時同學(xué)們參與教學(xué)的情緒較為高漲。而對另一個問題讓學(xué)生自己考慮如何選擇，鍛煉他們將數(shù)學(xué)問題與實際相結(jié)合的能力。
孔子云：學(xué)而不思則罔?！柏琛奔疵曰蠖鴽]有所得，把其意思引申一下，我們也就不難理解例題教學(xué)為什么要進行解后反思了。事實上，解后反思是一個知識小結(jié)、方法提煉的過程；是一個吸取教訓(xùn)、逐步提高的過程；是一個收獲希望的過程。從這個角度上講，例題教學(xué)的解后反思應(yīng)該成為例題教學(xué)的一個重要內(nèi)容。本文擬從以下三個方面作些探究。
1在解題的方法規(guī)律處反思
“例題千萬道，解后拋九霄”難以達到提高解題能力、發(fā)展思維的目的。善于作解題后的反思、方法的歸類、規(guī)律的小結(jié)和技巧的揣摩，再進一步作一題多變，一題多問，一題多解，挖掘例題的深度和廣度，擴大例題的輻射面，無疑對能力的提高和思維的發(fā)展是大有裨益的。
例如：（原例題）已知等腰三角形的腰長是4，底長為6；求周長。我們可以將此例題進行一題多變。
變式1 已知等腰三角形一腰長為4，周長為14，求底邊長。（這是考查逆向思維能力）
變式2 已等腰三角形一邊長為4；另一邊長為6，求周長。（前兩題相比，需要改變思維策略，進行分類討論） 變式3已知等腰三角形的一邊長為3，另一邊長為6，求周長。（顯然“3只能為底”否則與三角形兩邊之和大于第三邊相矛盾，這有利于培養(yǎng)學(xué)生思維嚴密性）
變式4 已知等腰三角形的腰長為x，求底邊長y的取值范圍。
變式5 已知等腰三角形的腰長為X，底邊長為y，周長是14。請先寫出二者的函數(shù)關(guān)系式，再在平面直角坐標(biāo)內(nèi)畫出二者的圖象。（與前面相比，要求又提高了，特別是對條件0y2x的理解運用，是完成此問的關(guān)鍵）
通過例題的層層變式，學(xué)生對三邊關(guān)系定理的認識又深了一步，有利于培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般，從具體到抽象地分析問題、解決問題；通過例題解法多變的教學(xué)則有利于幫助學(xué)生形成思維定勢，而又打破思維定勢；有利于培養(yǎng)思維的變通性和靈活性。
2在學(xué)生易錯處反思
學(xué)生的知識背景、思維方式、情感體驗往往和成人不同，而其表達方式可能又不準確，這就難免有“錯”。例題教學(xué)若能從此切入，進行解后反思，則往往能找到“病根”，進而對癥下藥，常能收到事半功倍的效果！
有這樣一個曾刊載于《中小學(xué)數(shù)學(xué)》初中（教師）版2004年第5期的案例：一位初一的老師在講完負負得正的規(guī)則后，出了這樣一道題：―3×（―4）= ？，A學(xué)生的答案是“9”，老師一看：錯了！于是馬上請B同學(xué)回答，這位同學(xué)的答案是“12”，老師便請他講一講算法：……，下課后聽課的老師對給出錯誤的答案的學(xué)生進行訪談，那位學(xué)生說：站在―3這個點上，因為乘以―4，所以要沿著數(shù)軸向相反方向移動四次，每次移三格，故答案為9。他的答案的確錯了，怎么錯的？為什么會有這樣的想法？又怎樣糾正呢？如果我們的例題教學(xué)能抓住這一契機，并就此展開討論、反思，無疑比講十道、百道乃至更多的例題來鞏固法則要好得多，而這一點恰恰容易被我們所忽視。
3在情感體驗處反思
