時間：2023-02-27 11:19:15
序論：在您撰寫反比例函數的應用時，參考他人的優(yōu)秀作品可以開闊視野，小編為您整理的7篇范文，希望這些建議能夠激發(fā)您的創(chuàng)作熱情，引導您走向新的創(chuàng)作高度。
江蘇省泰州市九龍實驗學校 陳建（225300）
一、反比例函數的基礎知識
1．一般地，形如y=(k為常數,k≠0)的函數稱為反比例函數,其中x是自變量,y是函數,k是比例系數.
2.函數的解析式的特征:①等號左邊是函數y,等號右邊是一個分式,分子是常數k,分母中含有自變量x,且x的指數是1.②自變量x的取值范圍是x≠0的一切實數.③比例系數“k≠0”是反比例函數定義的一個重要組成部分.④函數y的取值范圍也是一切非0的實數.
3.反比例函數的幾種等價形式：y=;y=kx-1;xy=k.(k≠0)
4.用待定系數法，求反比例函數的解析式：反比例函數 （且k為常數）中，只有一個待定系數，因此只需一對對應值就可求出k的值，從而確定其解析式.
5.反比例函數y=( k為常數,k≠0)圖象是雙曲線.(既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形)
6.反比例函數圖象的性質：當k>0時,雙曲線位于第一,三象限,在每個象限內,曲線從左向右下降,因而y隨x的增大而減小;當k<0時,雙曲線位于第二,四象限,在每個象限內,曲線從左向右上升,因而y隨x的增大而增大.雙曲線與x軸,y軸都沒有交點,而是越來越接近x軸,y軸.
7.比例系數k的幾何意義:反比例函數中比例系數k的幾何意義,如果過雙曲線上任意一點引x軸,y軸垂線,與兩坐標軸圍成的矩形面積為|k|.
二、反比例函數基礎知識的應用
例1． 已知 是反比例函數
（1） 求它的解析式.
（2） 求自變量 的取值范圍，在每個象限內， 隨 的增大而怎樣變化？
（3） 它的圖象位于哪個象限？
分析： （k≠0）叫反比例函數，也可以寫成 ，因此，它的特點是（1）k≠0，（2）x的指數為-1.
解：（1）由題意得 ， ，解析式為
（2）自變量 的取值范圍是 .
（3）由于 ，它的圖象位于二、四象限；在每個象限內， 隨 的增大而增大.
O
A
O
O
B
O
O
C
O
O
D
O
例2、在同一坐標系中，函數 和 的圖像大致是 （ ）
分析：本題是考查含有字母系數的幾個函數在同一坐標系中的圖象，分 和 兩種情況進行討論，選A.
例3、如右圖，在 的圖象上有兩點A、C，
過這兩點分別向x軸引垂線，交x軸于B、D兩點，
連結OA、OC，記ABO、CDO的面積為 ，
則 與 的大小關系是( )
A. B. C. D.不確定
分析：由基礎知識7知 ，故選C.
例4．已知反比例函數 的圖像上有兩點A( ， )，B( ， )， 且 ，則 的值是（ ）
A、正數 B、負數 C、非正數 D、不能確定
分析：由 可分為 ，易得 ，故選D.特別要注意反比例函數的增減性是對每一支曲線而言.
例5．如圖是三個反比例函數 ， ， 在x軸上方的圖象，由此觀察得到 、 、 的大小關系為（ ）
A、 B、
C、 D、
分析：根據圖象所在的象限，知 ，取 得 ，即 ，故選B.
例6．在矩形ABCD中AB=3，BC=4，P是BC邊上與B點不重合的任意點，PA=x，D點到PA的距離為y，求y與x之間的函數關系式，并畫出函數的圖像以及自變量x的取值范圍.
D
B
A
E
C
P
解：如圖，由題意（1）∠DEA=∠ABP，∠1=∠2，DEA∽ABP，
即
(2) P在BC上,與B不重合,可以與C重合
, .
(3)由于函數自變量的取值范圍是3<x≤5，所以y對應的取值范圍是 ，因此圖像只是一段曲線 , 其中不包括（3，4）而包括（5， ）.(圖略)
例7.已知一個函數具有以下條件：（1）該圖象經過第四象限；（2）當 時， y隨x的增大而增大；（3）該函數圖象不經過原點.請寫出一個符合上述條件的函數關系式： .
分析:這是一道開放題,必須非常熟悉函數的圖象和性質,才能解決問題.符合上述條件的函數關系式為 .
例8、某自來水公司計劃新建一個容積為40000 的長方形蓄水池.
（1）蓄水池的底面積S（ ）與其深度h（m）有怎樣的函數關系？
（2）如果蓄水池的深度設計為5m，那么蓄水池的底面積應為多少平方米？
（3）由于綠化以及輔助用地的需要，經過實地測量，蓄水池的長和寬最多能分別設計為100m和60m，那么蓄水池的深度至少達到多少才能滿足要求？（保留兩位小數）
一、識圖
學會認識題目中的圖形,使解題思路清楚,將題目“清晰化”
例1(漳州)矩形面積為4,它的長 與寬 之間的函數關系用圖象大致可表示為()
解析:由題意xy=4,即y是x的反比例函數,圖象B和C都是反比例函數圖象,但圖象B的自變量取值范圍是x>0,選B。
例2 (蘭州) 如圖,在直角坐標系中,點A是 軸正半軸上的一個定點,點B是雙曲線y= (x>0)上的一個動點,當點B的橫坐標逐漸增大時,OAB的面積將會()。
A.逐漸增大 B.不變
C.逐漸減小 D.先增大后減小
解析:雙曲線無限靠近坐標軸但與坐標軸不相交,在第一象限內當點B的橫坐標逐漸增大時,點B到x軸的距離越來越小,所以OAB的面積將會逐漸減小。選C。
點悟:識圖是學習函數圖象的基礎,“點動成線”即圖象是由滿足某個條件的無數個點組成的,而這些點的橫坐標、縱坐標分別代表著函數的兩個變量,因此函數的變化可以通過點的變化形成的圖象直觀地反映出來。
二、想圖
無圖想圖,把數和形有機地結合起來,將題目“明朗化”
例3 (揚州) 函數y= 的圖象與直線 沒有交點,那么k的取值范圍是( )。
A.k>1 B.k―1 D.k
解析:由解析式想圖象,直線y=x經過一、三象限,而函數y=的圖象是雙曲線,它又與直線無交點,那么雙曲線只能在二、四象限,得1-k
例4 (東營) 已知點M (-2,3)在雙曲線y= 上,則下列各點一定在該雙曲線上的是( )。
A.(3,-2) B.(-2,-3) C.(2,3) D.(3,2)
解析:第二象限的點 M (-2,3 )在雙曲線y= 上,可知雙曲線在二、四象限,題中四個點只有A在第四象限,因此選A。
點悟:研究函數離不開圖象,當題目中沒有圖象時,要能根據條件充分地想象,把“數”轉化為“形”,以形助數,從而得到解決問題的方法。
三、畫圖
作出符合題意的圖象,將題目“直觀化”。
例5 (內江) 若A(a,b),B(a-2,c)兩點均在函數y= 的圖象上,且a
A.b>c B.b
C.b=c D.無法判斷
解析:k=1>0,所以圖象在一、三象限,又a
例6 (梧州)已知點A(x1,y1)、B(x2,y2)是反比例函數y=
(k>0)圖象上的兩點,若x1
A.y1
解析:k>0,所以圖象在一、三象限,又x1
點悟:把數轉化成形,并能畫出函數圖象是學習函數的基本要求之一,通過畫出圖象使題目直觀化,這樣能更好地分析函數性質,加深對數量關系的認識,有利于探求解題的途徑。
四、用圖利用圖象的橋梁作用,把性質和解析式聯(lián)系起來,將題目“互動化”
例7 (黃石) 如圖所示,正比例函數與反比例函數的圖象相交于A、B兩點,分別以A、B兩點為圓心,畫與 軸相切的兩個圓,若點A的坐標為(2,1),則圖中兩個陰影部分面積的和是 。
解析:因為反比例函數圖象關于原點的中心對稱圖形,所以A、B兩點是對稱點,那么整個圖形是中心對稱圖形,得兩圓的陰影部分可拼成一個圓,半徑為1,所以兩個陰影部分面積的和為π。
例8 (鐵嶺)如圖所示,反比例函數y1與正比例函數y2的圖象的一個交點坐標是A(2,1),若y2>y1>0,則x的取值范圍在數軸上表示為()。
性質1 直線與雙曲線相離一定有k1k2＜0.
當 k1k2＞0 時直線與雙曲線一定相交.
證明(略)
性質2 直線與雙曲線只有一個交點時,兩線相切,并且切點是直線被兩坐標軸所截線段的中點；反之,如果雙曲線經過直線被兩坐標軸所截線段的中點,則兩線一定相切.
因為Δ=(-2k2[]m)2-4•k2[]m2•k2=4k22[]m2-4k22[]m2=0 .所以兩線只有一個交點,兩線相切.
性質3 直線與雙曲線相交時,直線被雙曲線和兩坐標軸截得的線段相等.
證明 如圖1(2),過點C作CEy軸,過點D作DFx軸,
連接E、F.由CE∥y軸,DF∥x軸,可知SECF=SECO=1[]2k2,SDFE=SDFO=1[]2k2, 所以SECF=SDFE.
又因為兩三角形底相等,所以高也相等,所以EF∥AB,則四邊形AEFD、ECBF都是平行四邊形,
所以EC=BF,AE=DF.可判斷RtAEC≌RtDFB,所以AC=BD.
通過上述證明過程又可得到以下性質：
性質4 當直線與雙曲線有兩個交點時,過其中一個點向x軸引垂線,y軸引垂線,兩垂足連線一定與該直線平行.
由圖2,圖2(1)都可證明性質3與性質4(證明過程同上).并且由圖2還可以得到
性質5 過原點的直線與雙曲線相交時,兩交點關于原點對稱.
證明 如圖2,由性質4知EF∥AB,因此四邊形AEFO、BOEF都是平行四邊形,所以AE=OF,OE=BF,EF=OA=OB,又A、B分別在二、四象限,因此A、B兩點關于原點對稱.
另外由圖3,還可以發(fā)現,設點P(x,y)是線段AB上一個動點,
當點P與C、D重合時,S矩形EOFC=S矩形DNOM=k2,
當點P在CD段時,易得S矩形PROH＞S矩形EOFC=k2,
當點P在AC段或BD段時,易得矩形面積都小于k2,因此又得到
性質6 如圖3,當點P在線段AB上運動時,過點P與x軸、
y軸圍成的矩形面積S有如下三種情況：設點p、C、D的橫坐標分別為x、x1 、x2,
則 當x1＜x＜x2時,S矩形＞k2,
當0＜x＜x1或當x2＜x＜-b[]k1時,S矩形＜k2,
當x=x1、x2時,S矩形=k2.
2 性質應用
例1 (2010湖北咸寧)如圖4,一次函數y=ax+b的圖象與x軸,y軸交于A,B兩點,與反比例函數y=k[]x的圖象相交于C,D兩點,分別過C,D兩點作y軸,x軸的垂線,垂足為E,F,連接CF,DE．
有下列四個結論：
①CEF與DEF的面積相等；②AOB∽FOE；
③DCE≌CDF；④AC=BD．
其中正確的結論是_________(把你認為正確結論的序號都填上)
解 由上述性質3、4得到①②④正確
例2 (2010寧夏)如圖5,已知：一次函數：y=-x+4的圖像與反比例函數：
y=2[]x(x>0)的圖像分別交于A、B兩點,點M是一次函數圖像在第一象限部分上的任意一點,過M分別向x軸、y軸作垂線,垂足分別為M1、M2,設矩形MM1OM2的面積為S1；點N為反比例函數圖像上任意一點,過N分別向x軸、y軸作垂線,垂足分別為N1、N2,設矩形NN1ON2的面積為S2；
(1)若設點M的坐標為(x,y),請寫出S1關于x的函數表達式,并求x取何值時,S1的最大值；
(2)觀察圖形,通過確定x的取值,試比較S1、S2的大小．
解 (1)S1=x(-x+4)=-x2+4x=-(x-2)2+4
當x=2時,S1最大值=4 .
(2)因為S2=2[CS0,0,0,0]［,］[CS]由S1=S2可得：-x2+4x=2,
x2-4x-2=0,所以x=2±2.由性質6可得：
當x=2±2時,S1=S2,
當0
當2-2
例3 (2010泰安)如圖6,一次函數y=ax(a為常數)與
反比例函數y=k[]x(k為常數)的圖象相交于A、B兩點,若A點的坐標為
(－2,3),則B點的坐標_________.
解 由性質3知B點與A點關于原點對稱,因此B點的坐標為(2,-3).
例4 (2009溫州)如圖7,在平面直角坐標系中,
直線AB與y軸和x軸分別交于點A、點B,
與反比例函數y=m[]x在第一象限的圖象交于點C(1,6)、點D(3,n)．
過點C作CEy軸于E,過點D作DFx軸于F．
(1)求m,n的值；
(2)求直線AB的函數解析式；
(3)求證：AEC≌DFB．
解 如圖7.(1)m=6,n=2
(2) 直線AB的函數解析式為y=-2x+8.
一、利用特殊四邊形的性質找到在反比例函數圖像上的頂點坐標確定反比例函數的解析式
例1.如圖1，菱形的頂點在軸上，頂點C的坐標為（-3，2）．若反比例函數y=■（x＞0）的圖像經過點A，則K的值為（）
A.-6. B.-3.C.3.D.6.
解析：如圖1，因為菱形的兩條對角線互相垂直平分，又在軸上，所以頂點C、A關于軸對稱，已知C的坐標為（-3，2），所以A的坐標為（3，2）.
反比例函數y=■（x＞0）的圖像經過點A，則K=3×2=6，故選D.
二、根據反比例函數比例系數的幾何意義探究特殊四邊形的面積
例2.如圖2，點A是反比例函數y=-■（x＜0）的圖像上的一點，過點A作ABCD，使點B、C在x軸上，點D在y軸上，則ABCD的面積為（）
A.1B.3
C.6D.12
分析：過點A作AEOB于點E，容易證明ABE≌DCO.
所以平行四邊形ABCD的面積等于矩形ADOE的面積等于AD×AE.
根據反比例函數的k的幾何意義可得：矩形ADOE的面積為6，即可得平行四邊形ABCD的面積為6．故選C．
例3.如圖3，點A是反比例函數y=■(x＞0)的圖像上任意一點，AB∥x軸交反比例函數y=－■ 的圖像于點B.以AB為邊作ABCD，其中C、D在x軸上，則SABCD為()
A．2 B．3
C．4 D．5
分析：分別過點B、A作BECD于E，AFCD于F，因為AB∥x軸，所以BE=AF.四邊形ABCD為平行四邊形，所以BC=AD，所以BCE≌AFD(HL).所以SABCD=SABEF=SBGOE+SAGOF=2+|-3|=5，故選D.
評注：例2、3都考查反比例函數系數k的幾何意義：反比例函數圖像上的點向兩坐標軸作垂線段，圍成矩形的面積就是｜k｜,圖像在一、三象限，k取正；在二、四象限，k取負.
三、以點的坐標為載體設計規(guī)律探究問題
例4.給出下列命題：
命題1：直線y=x與雙曲線有一個交點是（1，1）；
命題2：直線y=8x與雙曲線y=■有一個交點是（■，4）；
命題3：直線y=27x與雙曲線y=■有一個交點是（■，9）；
命題4：直線y=64x與雙曲線y=■有一個交點是（■，16）；
……
（1）請你閱讀、觀察上面命題，猜想出命題n（n為正整數）；
（2）請驗證你猜想的命題n是真命題．
解析：觀察命題1~4的結構特征可以發(fā)現反比例函數的比例系數與命題的序號是相同的，直線解析式中一次項的系數是命題的序號的立方數，交點的橫坐標是命題相應序號的倒數，縱坐標是命題相應序號數的平方數. 據此可以猜想出（1）命題n：直線y=n3x與雙曲線y=■有一個交點是（■，n2）.
（2）將（■，n2）代入直線y=n3x得：右邊n3×■=n2，左邊為n2，所以左邊等于右邊，所以點(■，n2)在直線y=n3x上，同理可證：點（■，n2）在雙曲線y=■上.
關鍵詞：中考；反比例函數；數學；解答技巧；問題探究
數學中反比例函數應用問題是中考的重難點，對于考生來說每次的解題都是一次新的挑戰(zhàn)。作為數學教師應該重視數學中反比例函數應用問題，將這一章節(jié)列為重點講解對象，精心設計教學目標，優(yōu)化教學內容，多利用多媒體課件等方式，提高學生對反比例函數的認知，做起練習題來得心應手，不再讓反比例函數應用問題成為中考的困擾。筆者根據自身多年的教學經驗，對中考中的反比例函數應用問題進行探究，提出了以下三大方面的要求。
一、認真分析反比例函數的題意
學生要想掌握反比例函數解題技巧，輕松解題，首先要知道什么是反比例函數，它的應用目的又是什么，知己知彼才能百戰(zhàn)不殆。函數分為正比例函數和反比例函數，y=k/x（k為常數且k≠0）的函數，叫做反比例函數，并且自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數。因此，學生在解反比例函數應用問題時，應該認真仔細地分析題目要求，理清題中的函數關系，將文字語言轉化為數學語言，然后再根據實際問題解決反比例函數應用問題。
二、注意反比例函數與方程聯(lián)系
學生通過教師對反比例函數的講解，已經能初步掌握反比例函數，但是學生對應用題解答上還是存在一定的困難。對此，教師還需要對學生進行引導，使他們將反比例函數與方程聯(lián)系起來，利用函數解決實際問題。反比例函數與方程的結合，大大降低了難度系數，學生的自信心得以增加，進一步激發(fā)了學生解決問題的積極性。
三、注重反比例函數的數形結合思想
數形結合思想為反比例函數問題的解決創(chuàng)造了條件，也為開發(fā)學生思維能力提供了機會。在處理“數”的問題時，要有轉化為“形”的意識，用“形”直觀引發(fā)出直覺，從而定位解題方向。反比例函數的數形結合思想，可以使問題化繁為簡，從而達到事半功倍的效果，讓學生真正掌握解題技巧。
總之，學生只要重視反比例函數應用問題，掌握問題解答的技巧，在中考數學中碰見此類型題時就能快速解答，既省時間又能得高分，并且能為今后學次函數知識奠定基礎。
一、拓展定義，完善概念
教師不是簡單地將概念“拋”給學生，而要引導學生在積極思維討論、主動合作探究的基礎上通過歸納形成概念，并通過簡單的習題訓練不斷拓展，引導學生抓住概念的本質。筆者在反比函數教學中引入定義時，向學生介紹其基本形式為：y=■（k≠0），或y=kx-1（k≠0），但學生對反比例函數概念的認識尚處于表象，教師適時將定義變式，設計幾個變式題目來強化概念。
變式1：若函數y=（m-2）x|m|-3是反比例函數，則m的值為（ ）
A、m=-2 B、m=2 C、m=2或-2 D、m=3或-3
本題變式旨在讓學生由反比例函數定義，一個函數滿足是反比例函數的必備要件分別是k≠0、x的指數為-1。
變式2：如果函數y=kxk■-10是一個反比例函數，求k的值和反比例函數的表達式。
二、 數形結合，化繁為簡
反函數教學要改變數、形彼此“兩邊飛”的現狀，要將數與形完美結合，從而兼具“數”的關系和“形”的直觀，在面積計算、比例大小等內容教學中要利用其圖象特點，將復雜的問題簡單化。
題源：若函數y=■的圖象經過點（-2，6），則下列各點中不在y=■圖象上的是（ ）。
A、（3，4） B、（2，-6）
C、（3，-4） D、（-3，4）
變式1：如右圖所示，點A是反比例函數圖象上一點，過A作ABx軸于B，若SAOB=5，則解析式為 。
通過觀察圖象可知，雙曲線上任一點引x軸（或y軸垂線），該點與垂足、原點所構成的三角形面積是定值，
即SAOB=■k。
變式2：已知一次函數y=ax+b與反比例函數y=■的圖象交于點A與B。（1）請利用給定的條件，求一次函數與反比例函數的解析式；（2）根據圖象寫出ax+b>■時x的取值范圍。
本題旨在要求學生利用反比例函數與一次函數的交點來求不等式的解集。通過觀察不難發(fā)現，一次函數圖象在反比例函數上方時，一次函數值大于反比例函數值，即x
三、挖掘性質，探索規(guī)律
函數作為初中代數教學的重點內容，學生往往被其若干個性質搞得頭昏腦脹。教師要通過變式練習，引領學生深入挖掘函數的性質，探索其內在的規(guī)律，才能使學生在解決問題時應對自如。
題源：若點A（x1，y1）和B（x2，y2）在反比例函數圖象上，且x1
學生根據k>0確定反比例函數圖象分布在一、三象限，在同一象限內，y隨x的增大而減少，容易得出結論y1
變式：若點（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）分別在反比例函數的圖象上，且x1
四、關注社會，聯(lián)系生活
數學源于生活，服務于生活。數學教學應根植于社會生活實際，從生活中搜索數學素材，精心編制習題，提高學生運用數學知識解決實際問題的能力，培養(yǎng)學生的數學應用意識。
題源：已知點M（-1，4）在反比例函數y=kx-1（k≠0）圖象上，則k的值是 。
變式1：在溫度不變的條件下，一定質量的氣體的壓強p與它的體積V成反比例。當p=50時，V=600，則當p=40時，V= 。
變式2：某學校為響應政府發(fā)出的全民健身的號召，打算在長24m、寬12m的矩形大禮堂內修建一個60m2的矩形健身房ABCD，該健身房的四面墻壁有兩側沿用大廳的舊墻壁。已知裝修舊墻壁的費用為60元/平方米，新建（含裝修）的費用為240元/平方米。設健身房的高為3米，一面舊壁AB的長為x米，修建健身房的總投入為y元。
（1）求y與x的函數關系式；
（2）為合理利用大廳，要求自變量x滿足7≤x≤14。當投入資金為14400元時，問利用舊墻壁的總長度為多少米？
1結論證明
圖1如圖1，AC是長方形ABCD的對角線，點P是對角線BD上一動點，過點E分別做AB、AD的平行線段IF、HG，點I、F分別在AD、BC上，點H、G分別在AB、DC上。則圖中陰影部分的面積相等即S1=S2。
證明如圖，在矩形ABCD中，易知
SABD=SCDB。①
同理在矩形AHGD中，知SPGD=SDIP。②
同理在矩形HBFP中，知SHBP=SFPB。③
①-②-③得：S1=S2。
這是矩形學習中很容易證明的一個結論，但一類有關反比例函數的題目，用矩形的這個結論來解顯得極其容易，若對這個結論沒掌握好要解這類題目是不容易的，下面我們來一起學習一下這個結論在反比例函數試題中的應用.
2應用舉例
圖2例1如圖2，矩形ABCD的對角線BD經過坐標原點，矩形的邊分別平行于坐標軸，點C在反比例函數y=k1x的圖象上。若點A的坐標為（-2，-2），則k的值為（）
A。-2B。2C。3D。4
解法1設C（m，n），則B（-2，n），D（m，-2），因BD經過原點，得n1-2=-21m，得mn=4，所以k=4.
解法2由以上結論，易知與兩坐標軸圍成的一、三限象中兩小矩形面積相等，由點A的坐標為（-2，-2）得小矩形面積為4，所以k=4，答案：D.
點評顯然，解法一不易想到正比例函數圖象上的點B、D坐標滿足的關系，從而解不出k的值。若熟悉以上矩形中的結論，便可很容易求出k的值來。
例2如圖2，矩形ABCD的對角線BD經過坐標原點，矩形的邊分別平行于坐標軸，點C在反比例函數y=k2+2k+11x的圖象上。若點A的坐標為（-2，-2），則k的值為（）
A。1B。-3C。4D。1或-3
點評由結論以上，易知k2+2k+1=4，解得：k=1或-3。
答案：D.
